- (2,0 pts) Questão 1. Considere a seguinte integral dupla iterada:
a) Esboce a regiāo
do plano definida pela integral
.
b) Escreva
como uma integral dupla iterada na ordem
e calcule o valor de
…
B
b) Escreva
Passo 1
Então, o exercício pede para calcular a integral dupla
Isso faz parte de cálculo multivariável (integrais duplas). A gente vai precisar:
- Entender a região
no plano definida pelos limites. - Trocar a ordem de integração de
para . - Calcular a integral com esses novos limites.
Passo 2
Para esboçar
, note que
e, para cada
,
. A região é um triângulo com vértices em
,
e
. No gráfico, a gente desenha o eixo
até 4, risca a reta
(que em
fica em
) e pinta tudo entre essa reta e o eixo
.
Passo 3
Para trocar a ordem, precisamos reescrever
assim:
Explicando:
vai de 0 até o ponto mais alto da reta (
), e para cada
fixo
vai de
(pois
) até 4. Logo
Passo 4
Agora calculamos em duas etapas:
- Integral interna em
:
- Integral externa em
: