• (2,0 pts) Questão 1. Considere a seguinte integral dupla iterada:
I=integral0^4 integral0^x / 2 x^2 y d y d x
a) Esboce a regiāo R do plano definida pela integral I.
b) Escreva I como uma integral dupla iterada na ordem d x d y e calcule o valor de I B

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular a integral dupla
I=integral0^4integral0^x/2x^2y,dy,dx
Isso faz parte de cálculo multivariável (integrais duplas). A gente vai precisar:
  • Entender a região R no plano definida pelos limites.
  • Trocar a ordem de integração de dy,dx para dx,dy.
  • Calcular a integral com esses novos limites.

Passo 2

Para esboçar R, note que 0<= x<= 4 e, para cada x, 0<= y<= x/2. A região é um triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (4,2). No gráfico, a gente desenha o eixo x até 4, risca a reta y=x/2 (que em x=4 fica em y=2) e pinta tudo entre essa reta e o eixo y=0.

Passo 3

Para trocar a ordem, precisamos reescrever R assim:
0<= y<= 2, 2y<= x<= 4
Explicando: y vai de 0 até o ponto mais alto da reta ( y=2), e para cada y fixo x vai de 2y (pois y<= x/2) até 4. Logo
I=integral0^2integral2y^4x^2y,dx,dy

Passo 4

Agora calculamos em duas etapas:
  1. Integral interna em x:
integral2y^4x^2y,dx = yintegral2y^4x^2,dx = yl[tfracx^33r]2y^4 = yl(tfrac643-tfrac8y^33r) = tfrac64y-8y^43
  1. Integral externa em y:
I =integral0^264y-8y^43,dy =13l[integral0^264y,dy-integral0^28y^4,dyr] =13l[64cdot2^22-8cdot2^55r] =13l[128-2565r] =1285

Resposta

1285

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