(
) Questão 4. Determine o centroide de uma lâmina com densidade de massa constante que tem a forma da região plana
delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra achar o centroide (ou “baricentro”) de uma lâmina homogênea (densidade constante) cuja região plana
é limitada pelas curvas
Isso faz parte de Cálculo II, tema de integrais duplas e centros de massa.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- calcular a área
da região; - usar as fórmulas
Passo 2
Calcular a área
.
Como a lâmina é limitada por até
e
varia de
a
(pois
), temos
Como a lâmina é limitada por
Agora integramos:
Então
Passo 3
Calcular
.
Pela definição,
Pela definição,
Dentro da integral em
:
Então
Sabendo que
e
, fica
Logo
Passo 4
Calcular
.
Aqui
Aqui
Repare que
é função ímpar, ou seja,
.
Portanto e
Portanto
Resposta
O centroide da lâmina é