( 2,0 pts ) Questão 4. Determine o centroide de uma lâmina com densidade de massa constante que tem a forma da região plana R delimitada pelas curvas x=y^2 e x=4.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra achar o centroide (ou “baricentro”) de uma lâmina homogênea (densidade constante) cuja região plana R é limitada pelas curvas
x = y^2 e x = 4
Isso faz parte de Cálculo II, tema de integrais duplas e centros de massa.
O que vamos precisar:
  1. calcular a área A da região;
  2. usar as fórmulas
bar x = 1Aintegral duplaR x,dA, bar y = 1Aintegral duplaR y,dA

Passo 2

Calcular a área A.
Como a lâmina é limitada por x=y^2 até x=4 e y varia de -2 a 2 (pois y^2=4Rightarrow y=pm2), temos
A ;=;integral duplaR dA =integraly=-2^2!integralx=y^2^4 1;dx,dy =integral-2^2(4 - y^2),dy
Agora integramos:
integral-2^2(4 - y^2),dy =l[4y - tfracy^33r]-2^2 =(8 - tfrac83) - (-8 + tfrac83) =tfrac323
Então A = tfrac323

Passo 3

Calcular bar x.
Pela definição,
bar x =1Aintegral duplaR x,dA =1Aintegral-2^2!integraly^2^4 x,dx,dy
Dentro da integral em x:
integraly^2^4 x,dx =l[tfracx^22r]y^2^4 =162-y^42 =8 - y^42
Então
integral duplaR x,dA =integral-2^2l(8 - tfracy^42r),dy =8integral-2^2dy ;-;12integral-2^2y^4,dy
Sabendo que integral-2^2dy=4 e integral-2^2y^4,dy=tfrac645, fica
integral duplaR x,dA =8cdot4 - tfrac12cdottfrac645 =32 - tfrac325 =tfrac1285
Logo
bar x =tfrac1285tfrac323 =1285cdot332 =125

Passo 4

Calcular bar y.
Aqui
bar y =1Aintegral duplaR y,dA =1Aintegral-2^2!integraly^2^4y,dx,dy =1Aintegral-2^2y,(4 - y^2),dy
Repare que ymapsto y(4-y^2) é função ímpar, ou seja,
integral-2^2 y(4-y^2),dy = 0.
Portanto integral duplaR y,dA = 0 e
bar y = 0

Resposta

O centroide da lâmina é
(,bar x,bar y,) =l(tfrac125,,0r)

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