1^{a} Questão: Resolva cada uma das seguintes integrais.
(15 pontos) \int \frac{x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}}{(x^{3}+2)^{5}}\,dx.
Esse tipo de integral sugere usar substituição, pois a derivada de x^3+2 é proporcional a x^2.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^3 + 2,
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du = 3x^2\,dx
ou seja
x^2\,dx = \tfrac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u temos
\int \frac{x^{2}}{(x^{3}+2)^{5}}\,dx = \int \frac{1}{u^{5}}\cdot \frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{-5}\,du.
Integrando,
\frac{1}{3}\int u^{-5}\,du = \frac{1}{3}\cdot \frac{u^{-4}}{-4} = -\frac{1}{12}\,u^{-4}.

Passo 4

Voltando à variável original x, obtemos
-\frac{1}{12}\,(x^3+2)^{-4} + C.

Resposta

-\frac{1}{12}\,(x^3 + 2)^{-4} + C.

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