(2,0 pts) A região limitada pela reta x=1 e pelos gráficos de y=x^3, y=1 e y=8 gira em torno do eixo y. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação e determine seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno do eixo y. Essa região é limitada pela reta x = 1 e pelos gráficos de y = x^3, y = 1 e y = 8. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas e a região que estamos lidando. A função y = x^3 é uma curva que passa pela origem e sobe rapidamente à medida que x aumenta. As retas horizontais y = 1 e y = 8 definem os limites verticalmente, e a reta vertical x = 1 define um limite à direita.

Passo 3

Vamos esboçar a região:
  • A curva y = x^3 começa na origem (0,0) e sobe para a direita.
  • A reta x = 1 corta a curva y = x^3 quando x = 1, ou seja, em y = 1.
  • As retas horizontais y = 1 e y = 8 vão de x = 0 até x = 1.
Então, a região limitada é entre y = 1 e y = 8, de x = 0 até x = 1, e abaixo da curva y = x^3.

Passo 4

Agora, para encontrar o volume ao girar essa região em torno do eixo y, vamos usar o método dos anéis (ou cilindros). A fórmula geral para o volume usando esse método é:
V = pi integrala^b [ R(y)^2 - r(y)^2 ] dy
Onde:
  • R(y) é o raio externo (a distância do eixo de rotação até a fronteira externa da região).
  • r(y) é o raio interno (a distância do eixo de rotação até a fronteira interna da região).
  • a e b são os limites de integração no eixo y.

Passo 5

Vamos determinar R(y) e r(y):
  • O raio externo R(y) é sempre 1, já que a reta x = 1 está a uma distância constante de 1 do eixo y.
  • O raio interno r(y) vem da curva y = x^3. Resolvendo para x, temos x = raiz[3]y.

Passo 6

Agora, identificamos os limites de integração a e b:
  • A rotação vai de y = 1 até y = 8.

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula do volume:
V = pi integral1^8 [1^2 - (raiz[3]y)^2 ] dy = pi integral1^8 [1 - y^2/3 ] dy

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
integral [1 - y^2/3 ] dy = integral 1 , dy - integral y^2/3 , dy = y - 35 y^5/3 + C

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 1 a 8:
V = pi [ (8 - 35 cdot 8^5/3) - (1 - 35 cdot 1^5/3) ]
Calculando 8^5/3:
8^1/3 = 2 Rightarrow 8^5/3 = (8^1/3)^5 = 2^5 = 32
Então:
V = pi [ (8 - 35 cdot 32) - (1 - 35 cdot 1) ] = pi [ (8 - 19.2) - (1 - 0.6) ]
V = pi [ -11.2 - 0.4 ] = pi [ -11.6 ]
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
V = 11.6 pi

Resposta

O volume do sólido obtido na rotação é 11,6,pi unidades cúbicas.

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