A região limitada pela reta
e pelos gráficos de
e
gira em torno do eixo
. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação e determine seu volume.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno do eixo y. Essa região é limitada pela reta
e pelos gráficos de
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas e a região que estamos lidando. A função
é uma curva que passa pela origem e sobe rapidamente à medida que x aumenta. As retas horizontais
e
definem os limites verticalmente, e a reta vertical
define um limite à direita.
Passo 3
Vamos esboçar a região:
- A curva
começa na origem (0,0) e sobe para a direita. - A reta
corta a curva quando , ou seja, em . - As retas horizontais
e vão de até .
Então, a região limitada é entre
e
, de
até
, e abaixo da curva
.
Passo 4
Agora, para encontrar o volume ao girar essa região em torno do eixo y, vamos usar o método dos anéis (ou cilindros). A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é o raio externo (a distância do eixo de rotação até a fronteira externa da região). -
é o raio interno (a distância do eixo de rotação até a fronteira interna da região). -
e são os limites de integração no eixo y.
Passo 5
Vamos determinar
e
:
- O raio externo
é sempre 1, já que a reta está a uma distância constante de 1 do eixo y. - O raio interno
vem da curva . Resolvendo para , temos .
Passo 6
Agora, identificamos os limites de integração
e
:
- A rotação vai de
até .
Passo 7
Substituindo esses valores na fórmula do volume:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de 1 a 8:
Calculando
:
Então:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido obtido na rotação é
unidades cúbicas.