3 (3 pts.) Sejam B a base canônica do R^3 e B1=(0,1,1),(0,-1,1),(1,0,1). (Note que B1 também é uma base de R^3.) Seja T: R^3 R^3 tal que [T]B=(ccc2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3)
(a) Encontre o polinômio característico de [T]B, os autovalores e os autovetores correspondentes;
(b) Ache [T]B1 e o polinomio caracteristico de [T]B1;
(c) Encontre, se possível, uma base B2 de R^3 tal que [T]B2 seja diagonal.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica B é
[T]B = A = 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 ,
e também a base B1=,b1=(0,1,1),,b2=(0,-1,1),,b3=(1,0,1).
Precisamos:
(a) polinômio característico de A, autovalores e autovetores;
(b) a matriz [T]B1 e seu polinômio característico;
(c) decidir se existe base em que T fica diagonal e, se sim, construí-la.

Passo 2

Como é triangular, seu polinômio característico é
Logo os autovalores são
é
Para resolvemos :
Autovetores associados a formam .
Para resolvemos :
Autovetores associados a formam .

Passo 3

Para achar [T]B1, aplicamos A a cada bj e escrevemos o resultado em coordenadas de B1.
  1. T(b1)=A(0,1,1)=(1,-2,-3). Buscamos alpha,beta,gamma tais que
alpha(0,1,1)+beta(0,-1,1)+gamma(1,0,1) =(gamma,;alpha-beta,;alpha+beta+gamma) =(1,-2,-3)
Resolve-se gamma=1, alpha-beta=-2, alpha+beta=-4, dando alpha=-3,beta=-1.
2) T(b2)=A(0,-1,1)=(1,4,-3). Soma-se gamma=1, alpha-beta=4, alpha+beta=-4, obtendo alpha=0,beta=-4.
3) T(b3)=A(1,0,1)=(3,1,-3). Soma-se gamma=3, alpha-beta=1, alpha+beta=-6, obtendo alpha=-tfrac52,beta=-tfrac72.
Portanto
[T]B1 = -3 & 0 & -tfrac52 -1 & -4 & -tfrac72 1 & 1 & 3
Como mudança de base preserva o polinômio característico,
chi[T]B1(lambda) =(2-lambda)(-3-lambda)^2

Passo 4

Para que T seja diagonalizável, cada autovalor deve ter espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica. Aqui lambda=-3 tem multiplicidade 2 mas espaço próprio de dimensão 1. Logo não há base B2 que torne [T]B2 diagonal.

Resposta

(a) chiT(lambda)=(2-lambda)(-3-lambda)^2. Autovalores lambda=2 com autovetores span(1,0,0) e lambda=-3 com autovetores span(0,1,0).
(b)
[T]B1 = -3 & 0 & -tfrac52 -1 & -4 & -tfrac72 1 & 1 & 3 , chi[T]B1(lambda)=(2-lambda)(-3-lambda)^2
(c) Não existe base B2 em que [T]B2 seja diagonal, pois o espaço próprio de lambda=-3 tem dimensão 1<2.

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