3 (3 pts.) Sejam a base canônica do e . (Note que também é uma base de .) Seja tal que
(a) Encontre o polinômio característico de [T]B, os autovalores e os autovetores correspondentes;
(b) Ache [T]B1 e o polinomio caracteristico de [T]B1;
(c) Encontre, se possível, uma base B2 de R^3 tal que [T]B2 seja diagonal.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica B é
[T]B = A = 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 ,
e também a base B1=,b1=(0,1,1),,b2=(0,-1,1),,b3=(1,0,1).
Precisamos:
(a) polinômio característico de A, autovalores e autovetores;
(b) a matriz [T]B1 e seu polinômio característico;
(c) decidir se existe base em que T fica diagonal e, se sim, construí-la.
Passo 2
Como é triangular, seu polinômio característico é
Logo os autovalores são
é
Para resolvemos :
Autovetores associados a formam .
Para resolvemos :
Autovetores associados a formam .
Passo 3
Para achar [T]B1, aplicamos A a cada bj e escrevemos o resultado em coordenadas de B1.
T(b1)=A(0,1,1)=(1,-2,-3). Buscamos alpha,beta,gamma tais que
Como mudança de base preserva o polinômio característico,
chi[T]B1(lambda) =(2-lambda)(-3-lambda)^2
Passo 4
Para que T seja diagonalizável, cada autovalor deve ter espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica. Aqui lambda=-3 tem multiplicidade 2 mas espaço próprio de dimensão 1. Logo não há base B2 que torne [T]B2 diagonal.
Resposta
(a) chiT(lambda)=(2-lambda)(-3-lambda)^2. Autovalores lambda=2 com autovetores span(1,0,0) e lambda=-3 com autovetores span(0,1,0).
(b)