4 (2 pts.) Sejam v=(1,2,1) in R^3 e W=(x, y, z) in R^3: 2 x+y-z=0. Determine projW(v), a projeção de v sobre W.

Passo 1

O enunciado dá o vetor v=(1,2,1) em R^3 e o subespaço WsubsetR^3 definido pela equação
2x+y-z=0
O conteúdo aqui é projeção ortogonal de um vetor sobre um plano em R^3. Vamos usar o fato de que
R^3 = W oplus W^perp
e que W^perp é gerado pelo vetor normal ao plano.

Passo 2

Identificamos um vetor normal a W. Como 2x+y-z=0, basta escolher
n = (2,1,-1)
Esse n é ortogonal a qualquer vetor de W. Para projetar v em W usamos
projW(v) = v - projn(v),
onde projn(v) é a projeção de v na direção de n.

Passo 3

Calculamos a projeção de v sobre n por
projn(v) = ncdot vncdot n,n
Aqui
ncdot v = 2cdot1 + 1cdot2 + (-1)cdot1 = 3, ncdot n = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 6
Logo
projn(v) = 36,(2,1,-1) = tfrac12,(2,1,-1) = (1,tfrac12,-tfrac12)

Passo 4

Agora subtraímos essa componente de v para obter a projeção em W:
projW(v) = (1,2,1) - (1,tfrac12,-tfrac12) = l(0,tfrac32,tfrac32r)

Resposta

projW(v) = l(0,tfrac32,tfrac32r)

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