(3,0 pts) Um tubo, comprimento de 4,0 \mathrm{~m}, de parede grossa de aço inoxidável \left[\mathrm{k}=19 \mathrm{~W} / \mathrm{m}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] com 2 cm de diâmetro interno e 4 cm de diâmetro externo. Se a temperatura da parede interna do tubo é mantida a 600^{\circ} \mathrm{C} e a superfície externa a 100^{\circ} \mathrm{C}, calcule a perda de calor por metro de comprimento.

Passo 1

O enunciado trata de condução de calor estacionária através de uma parede cilíndrica espessa de aço inoxidável. Precisamos usar a fórmula da resistência térmica de um cilindro oco e calcular a taxa de perda de calor por metro de comprimento, dado que a temperatura interna da parede é \,600^\circ\text{C} e a externa é \,100^\circ\text{C}.

Passo 2

Determinar os raios interno e externo a partir dos diâmetros: \displaystyle r_{1}=\tfrac{2{,}0\text{ cm}}{2}=1{,}0\text{ cm}=0{,}01\text{ m}, \displaystyle r_{2}=\tfrac{4{,}0\text{ cm}}{2}=2{,}0\text{ cm}=0{,}02\text{ m}.

Passo 3

Para condução estacionária radial em parede cilíndrica, a resistência térmica por comprimento L é
R_{\mathrm{t}}=\frac{\ln\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}{2\pi k\,L}.
Como queremos perda de calor por metro, tomamos L=1\text{ m}. Então, a taxa de calor por metro é
\dot Q'=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{t}}} =\frac{T_{1}-T_{2}}{\displaystyle\frac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k}} =2\pi k\;\frac{T_{1}-T_{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})}.

Passo 4

Substituindo k=19\text{ W/(m\cdot\circC)}, \Delta T=600-100=500\text{ K} e \ln(r_{2}/r_{1})=\ln(0{,}02/0{,}01)=\ln2\approx0{,}6931:
\dot Q' =2\pi\times19\times\frac{500}{0{,}6931} \approx\frac{2\pi\times19\times500}{0{,}6931} \approx8,63\times10^{4}\text{ W/m}.

Resposta

A perda de calor por metro de comprimento é aproximadamente
\dot Q'\approx8,6\times10^{4}\;\text{W/m}.

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