Questão 4 [2.5ptos] Calcule \iint_{S} r o t \vec{F} d \vec{S}, onde S é a união do cilindro x^{2}+y^{2}=1, 0 \leq z \leq 1, com a porção do plano z=0 e x^{2}+y^{2} \leq 1, orientada com normal apontando para fora e
F(x, y, z)=\left(x \operatorname{arctg}\left(z^{2}\right), x^{3}-y \operatorname{arctg}\left(z^{2}\right), x^{2} y^{3} \cos (\pi z)\right)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da rotação de \vec F pela superfície
S = S_{\rm cil} \cup S_{\rm base},
onde S_{\rm cil} é o cilindro x^2+y^2=1,\;0\le z\le1 e S_{\rm base} é o disco z=0,\;x^2+y^2\le1, com normal apontando para fora do volume. A ideia é usar que
\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0
para formar uma superfície fechada.

Passo 2

Definimos a superfície fechada
S_{\rm fechada} = S \;+\; S_{\rm topo},
onde S_{\rm topo} é o disco em z=1, x^2+y^2\le1, com normal para fora (isto é, \mathbf k). Pelo teorema da divergência aplicado a \nabla\times\vec F,
\iint_{S_{\rm fechada}}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S =\iiint_V\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)\,dV =0.
Logo
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S =-\iint_{S_{\rm topo}}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S.

Passo 3

Calcular \nabla\times\vec F. Se \vec F=(a,b,c) com
a = x\arctan(z^2),\quad b = x^3 - y\arctan(z^2),\quad c = x^2y^3\cos(\pi z),
então a componente na direção \mathbf k é
(\nabla\times\vec F)\cdot\mathbf k =\frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y} =3x^2-0 =3x^2.

Passo 4

No disco S_{\rm topo} temos z=1 e d\vec S=\mathbf k\,dA. Assim
\iint_{S_{\rm topo}}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S =\iint_{x^2+y^2\le1}3x^2\,dA.
Por simetria \displaystyle\iint_{x^2+y^2\le1}x^2\,dA=\frac{\pi}{4}, logo
\iint_{S_{\rm topo}}3x^2\,dA =3\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{3\pi}{4}.

Passo 5

Pela relação do Passo 2, o fluxo desejado é o negativo desse valor:

Resposta

-\frac{3\pi}{4}

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