Questão 04

Considere a equação abaixo:
f^{\prime}(t)=-a \cdot \operatorname{sen}(t)+b \cdot \cos (t)
Possui por solução geral qual das expressões abaixo?
f(t)=b \cdot \operatorname{sen}(a+b)+\cos (t)
f(t)=a \cdot \operatorname{sen}(t+b)-\cos (t)+b \cdot \operatorname{sen}(t-b)
f(t)=a \cdot \operatorname{sen}(t+b)-\cos (t)
f(t)=a \cdot \cos (t)-b \cdot \operatorname{sen}(t)
f(t)=a \cdot \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado dá a derivada
f'(t) = -a \,\operatorname{sen}(t) + b\,\cos(t)
e pede a solução geral f(t). O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas básicas e lembramos que, ao integrar uma derivada, sempre surge uma constante de integração.

Passo 2

Integramos termo a termo:
– Para -a\,\operatorname{sen}(t), usamos
\int -a\,\operatorname{sen}(t)\,dt = -a\bigl(-\cos(t)\bigr) = a\,\cos(t).
– Para b\,\cos(t), usamos
\int b\,\cos(t)\,dt = b\,\operatorname{sen}(t).

Passo 3

Somando as integrais e incluindo a constante de integração C, obtemos a solução geral
f(t) = a\,\cos(t) + b\,\operatorname{sen}(t) + C.

Resposta

f(t) = a\,\cos(t) + b\,\operatorname{sen}(t) + C.

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