(Pucrs 2013) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado pela fórmula \mathrm{q}=10 \cdot 2^{\mathrm{k} \cdot \mathrm{t}}, onde q representa a quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante \mathbf{k} é
a) -35 / 5
b) -33 / 10
c) -5 / 33
d) -10 / 33

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado dá e o que ele pede, com tudo explícito (peguei os números do enunciado).
  • Fórmula fornecida: q=10\cdot 2^{k\cdot t}.
  • Dados: quando t=3,3 horas, tem-se q=5.
  • Pedido: encontrar o valor da constante k.

Passo 2

Substituir os valores conhecidos na fórmula para obter uma equação em k. Substituindo q=5 e t=3,3 na expressão:
5 = 10\cdot 2^{k\cdot 3,3}.

Passo 3

Isolar a potência com base 2 dividindo ambos os lados por 10:
\frac{5}{10} = 2^{k\cdot 3,3}.
Calcular o lado esquerdo:
\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.
Logo
\frac{1}{2}=2^{k\cdot 3,3}.

Passo 4

Reconhecer que \dfrac{1}{2}=2^{-1}. Assim temos
2^{-1}=2^{k\cdot 3,3}.
Como a base 2 é a mesma e diferente de 1, os expoentes devem ser iguais:
-1 = k\cdot 3,3.
Portanto
k = -\dfrac{1}{3,3}.

Passo 5

Converter 3,3 em fração para ficar exato: 3,3=\dfrac{33}{10}. Substituindo,
k = -\dfrac{1}{33/10} = -\dfrac{10}{33}.
Interpretação rápida: k é negativo, o que faz sentido — a quantidade decai no tempo.

Resposta

d) -\dfrac{10}{33}

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