Resolver em R as equações exponenciais:
1=3,2^{x}

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a equação exponencial
1 = 3\cdot 2^{x}.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e aparece como expoente em 2^{x}.
  • Queremos todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Entendendo o tipo de equação: uma equação exponencial é aquela em que a incógnita aparece no expoente, aqui em 2^{x}. O procedimento padrão é isolar a potência que contém x (ou transformá-la numa forma em que se possa aplicar logaritmo). Por isso o primeiro passo é deixar 2^{x} sozinho num lado da igualdade.
Partindo de
1 = 3\cdot 2^{x},
dividimos ambos os lados por 3 (isso é permitido porque 3\neq0) para obter:
2^{x} = \frac{1}{3}.

Passo 3

Agora precisamos “tirar” o expoente. A ferramenta que usamos é o logaritmo: para qualquer base positiva a\neq1 e y>0, a equação a^{x}=y é equivalente a x=\log_{a}y. Aplicando essa ideia com a=2 e y=\dfrac{1}{3} temos imediatamente
x=\log_{2}\!\left(\frac{1}{3}\right).
Explicando a propriedade usada: \log_{2} é a função inversa de 2^{(\cdot)}. Ou seja, \log_{2}(2^{x})=x e 2^{\log_{2}y}=y. Por isso aplicar \log_{2} em ambos os lados isola x.

Passo 4

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos. Uma propriedade útil é
\log_{a}\!\left(\frac{1}{b}\right)=-\log_{a}b.
Aplicando aqui,
x=\log_{2}\!\left(\frac{1}{3}\right)=-\log_{2}3.
Outra forma equivalente, usando a fórmula de mudança de base (útil se for preciso calcular numericamente com logaritmo natural ou decimal), é
\log_{2}3=\frac{\ln 3}{\ln 2},
portanto
x=-\frac{\ln 3}{\ln 2}.

Passo 5

Se quiser uma aproximação numérica (útil para conferir): usando \ln 2\approx 0,6931 e \ln 3\approx 1,0986,
x\approx -\frac{1,0986}{0,6931}\approx -1,58496.

Passo 6

Resumo do método que podes aplicar em prova:
  • Isola a potência que contém x.
  • Aplica logaritmo (na base da potência, se possível, ou natural/decimal) para “trazer” o expoente para frente.
  • Usa propriedades dos logaritmos para simplificar (por exemplo, \log(1/b)=-\log b e mudança de base).
  • Se pedirem, dá a forma exata (com logaritmo) e, se necessário, uma aproximação numérica.
Força aí — com esse passo a passo dá para resolver qualquer equação do tipo a\cdot b^{x}=c rapidinho!

Resposta

x=-\log_{2}3=-\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\approx-1,58496

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