Resolver em R as equações exponenciais:
0,2^{x}=\frac{1}{25}

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial a resolver em \mathbb{R}:
0,2^{x}=\frac{1}{25}.
O que se pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes fornecidas:
  • O lado esquerdo tem a base 0,2 elevada à potência x.
  • O lado direito é \dfrac{1}{25}.

Passo 2

Vamos reescrever as duas quantidades usando potências de um mesmo número para facilitar a comparação. Observação útil: 0,2 é a mesma coisa que \dfrac{1}{5}, porque 0,2=2/10=1/5. Assim,
0,2=\frac{1}{5}.
Também sabemos que 25=5^{2}, logo
\frac{1}{25}=\frac{1}{5^{2}}.

Passo 3

Substituindo essas representações na equação original, obtemos
\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=\frac{1}{5^{2}}.
Agora usamos uma regra básica de potências: se a>0, a\neq 1, e a^{u}=a^{v}, então necessariamente u=v. (Intuição: a função a^{t} é injetora em t quando a base é positiva e diferente de 1.) Aqui a base é a=\dfrac{1}{5}, que é positiva e diferente de 1, portanto podemos igualar os expoentes:
x=2.

Passo 4

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule o lado esquerdo com x=2:
0,2^{2}=\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25},
que é exatamente o lado direito. Então x=2 satisfaz a equação.

Resposta

x=2

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