Questão 05: Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R_{1}=6,0 \mathrm{~cm} e R_{2}=24 \mathrm{~cm} são percorridas por correntes elétricas i_{1} e i_{2} respectivamente. Determine a relação entre i_{1} e i_{2}, sabendo-se que o campo magnético resultante no centro das espiras é nulo.

Passo 1

Temos duas espiras circulares concêntricas e coplanares de raios R_{1}=6{,}0\\ \mathrm{cm} e R_{2}=24\\ \mathrm{cm}, percorridas por correntes i_{1} e i_{2}. Queremos que o campo magnético resultante no centro seja nulo. Para isso vamos usar o princípio de superposição e a expressão do campo no centro de uma espira circular.

Passo 2

O módulo do campo magnético no centro de uma espira de raio R percorrida por corrente i é dado por
B = \frac{\mu_{0}\,i}{2\,R}\,.

Passo 3

Como as espiras são concêntricas e coplanares, os campos que cada uma gera no centro têm a mesma direção (normal à página), mas podem ter sentidos opostos. Para anular o campo resultante precisamos igualar os módulos e inverter o sentido de uma corrente em relação à outra, ou seja,
B_{1} = B_{2}\,.

Passo 4

Substituindo a fórmula de cada espira,
\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\,R_{1}} = \frac{\mu_{0}\,i_{2}}{2\,R_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{i_{1}}{R_{1}} = \frac{i_{2}}{R_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{i_{1}}{i_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}\,.

Passo 5

Agora basta usar R_{1}=6{,}0\\ \mathrm{cm} e R_{2}=24\\ \mathrm{cm}:
\frac{i_{1}}{i_{2}} = \frac{6{,}0}{24} = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad i_{1} = \tfrac{1}{4}\,i_{2} \quad\text{(e as correntes devem ter sentidos opostos).}

Resposta

\displaystyle \frac{i_{1}}{i_{2}} = \frac{1}{4} (correntes em sentidos opostos).

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