O tamanho de uma população de peixes é modelado pela fórmula
onde
é o tamanho da população de peixes depois de
anos e
e
são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja
.
Agora assuma que
. Mostre que, se
, então (
) é crescente e
. Deduza que
.
Agora assuma que
Passo 1
O enunciado dá a recorrência
com
e
. Precisamos mostrar que, se
, então para todo
vale
isto é,
é crescente e permanece em
. Em seguida, usaremos monotonia e limite na recorrência para obter
.
Passo 2
Mostramos por indução que
para todo
.
Base : é dado que
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
porque
e
. Para ver que
, note que
, logo
Mas precisamos refinar: queremos
. Verifique
e isso é verdade pois
e
. Assim a indução fecha.
Passo 3
Como já sabemos
, calculemos a diferença
Aqui
,
e
pela hipótese de passo
. Logo
, ou seja, a sequência é crescente.
Passo 4
Temos (
) crescente e
, então existe limite finito
com
. Fazendo
na recorrência,
Como
, a única solução é
.