O tamanho de uma população de peixes é modelado pela fórmula
pn+1=b pna+pn,
onde pn é o tamanho da população de peixes depois de n anos e a e b são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja p0>0.
Agora assuma que a<b. Mostre que, se p0<b-a, então ( pn ) é crescente e 0<pn<b-a. Deduza que lim x infty pn=b-a.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência
pn+1=b,pna+pn,
com a<b e p0>0. Precisamos mostrar que, se p0<b-a, então para todo n vale
0<pn<b-a e pn+1>pn,
isto é, (pn) é crescente e permanece em (0,b-a). Em seguida, usaremos monotonia e limite na recorrência para obter limntoinftypn.

Passo 2

Mostramos por indução que
0<pn<b-a
para todo n.
Base n=0: é dado que 0<p0<b-a.
Passo indutivo: suponha 0<pn<b-a. Então
pn+1=b,pna+pn>0
porque b>0 e a+pn>0. Para ver que pn+1<b-a, note que a+pn<a+(b-a)=b, logo
pn+1 =b,pna+pn <b,pnpn=b
Mas precisamos refinar: queremos pn+1<b-a. Verifique
pn+1<b-a ;Long<=ftrightarrow; b,pn<(b-a)(a+pn) ;Long<=ftrightarrow; b,pn<(b-a)a+(b-a)pn ;Long<=ftrightarrow; a,pn<a(b-a),
e isso é verdade pois pn<b-a e a>0. Assim a indução fecha.

Passo 3

Como já sabemos 0<pn<b-a, calculemos a diferença
pn+1-pn =pnl(ba+pn-1r) =pn,b-(a+pn)a+pn =pn,(b-a-pn)a+pn
Aqui pn>0, a+pn>0 e b-a-pn>0 pela hipótese de passo 2. Logo pn+1-pn>0, ou seja, a sequência é crescente.

Passo 4

Temos ( pn) crescente e pn<b-a, então existe limite finito
L=limntoinftypn,
com 0<L<= b-a. Fazendo ntoinfty na recorrência,
L=b,La+L ;Longrightarrow; L,(a+L)=b,L ;Longrightarrow; L,(L+a-b)=0
Como L>0, a única solução é L=b-a.

Resposta

limntoinfty pn = b - a .

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