Q 2: (05 pontos) Sobre a área " A " interna a curva de equação r=2+sen(theta) e externa a curva r=3 sen(theta) podemos afirmar que:
a A=integral-pi / 2^pi / 2[(2+sen(theta))^2-(3 sen(theta))^2] d theta.
d A=12 integralpi / 6^-pi / 2[(2+sen(theta))^2-(3 sen(theta))^2] d theta.
b A=12 integral-7 pi / 6^pi / 6[(3 sen(theta))^2-(2+sen(theta))^2] d theta.
e Nenhuma das outras alternativas
c. A=integralpi / 6^-pi / 2[(2+sen(theta))^2-(3 sen(theta))^2] d theta

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto de pontos que ficam por dentro da curva r=2+senθ (o “cardióide”) e por fora da curva r=3 senθ (o “círculo”). O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula geral: A=tfrac12integral (router^2 - rinner^2),dθ, escolhendo corretamente qual r é maior em cada θ.

Passo 2

Primeiro, identificamos as duas funções: r₁(θ)=2+senθ e r₂(θ)=3 senθ. Para ver qual fica sempre por fora, fazemos r₁−r₂ = (2+senθ)−3 senθ = 2−2 senθ = 2(1−senθ) ≥ 0 para todo θ (já que senθ ≤ 1). Isso mostra r₁(θ) ≥ r₂(θ) em todo o círculo.

Passo 3

Como r₁ é sempre a curva externa e r₂ a interna, montamos a integral ao longo de um período completo (0 a 2π), pois ambas as curvas fecham neste intervalo. Assim: A=12integral0^2πl[(2+senθ)^2 - (3,senθ)^2r],dθ

Passo 4

Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse arranjo correto (limitado 0→2π, com fator ½ e ordem (r₁²−r₂²)). Logo a opção correta é “Nenhuma das outras alternativas.”

Resposta

Nenhuma das outras alternativas

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