Q 2: (05 pontos) Sobre a área "
" interna a curva de equação
e externa a curva
podemos afirmar que:
a
.
d
.
b
.
e Nenhuma das outras alternativas
c.
a
d
b
e Nenhuma das outras alternativas
c.
Passo 1
O enunciado pede a área do conjunto de pontos que ficam por dentro da curva r=2+senθ (o “cardióide”) e por fora da curva r=3 senθ (o “círculo”). O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula geral:
, escolhendo corretamente qual r é maior em cada θ.
Passo 2
Primeiro, identificamos as duas funções: r₁(θ)=2+senθ e r₂(θ)=3 senθ. Para ver qual fica sempre por fora, fazemos r₁−r₂ = (2+senθ)−3 senθ = 2−2 senθ = 2(1−senθ) ≥ 0 para todo θ (já que senθ ≤ 1). Isso mostra r₁(θ) ≥ r₂(θ) em todo o círculo.
Passo 3
Como r₁ é sempre a curva externa e r₂ a interna, montamos a integral ao longo de um período completo (0 a 2π), pois ambas as curvas fecham neste intervalo. Assim:
Passo 4
Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse arranjo correto (limitado 0→2π, com fator ½ e ordem (r₁²−r₂²)). Logo a opção correta é “Nenhuma das outras alternativas.”
Resposta
Nenhuma das outras alternativas