Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime-7 t y^prime+41 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
t^2y'' - 7t,y' + 41y = 0
Esse tipo de equação a gente resolve assumindo uma solução do tipo y=t^r e encontrando os valores de r pela equação característica.

Passo 2

Assumimos y=t^r. Então
y' = r,t^r-1, y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo em t^2y'' - 7t,y' + 41y = 0
t^2cdot r(r-1),t^r-2 -7tcdot r,t^r-1 +41,t^r =0
Dividindo tudo por t^r (válido para t>0) obtemos a equação característica
r(r-1) -7r +41 = 0

Passo 3

Simplificando,
r^2 - r -7r +41 = r^2 -8r +41 = 0
Calculamos o discriminante
De<a = (-8)^2 - 4cdot1cdot41 = 64 -164 = -100,
logo as raízes são complexas.

Passo 4

As raízes da característica são
r = 8 pm raiz-1002 = 8 pm 10,i2 = 4 pm 5,i
Para uma equação de Euler com raízes r=alphapm ibeta, a solução geral é
y(t) = t^alphal(C1cos(betaln t)+C2sin(betaln t)r)

Passo 5

Aqui alpha=4 e beta=5. Portanto a solução geral, válida para t>0, é
y(t) = t^4l(C1cos(5ln t)+C2sin(5ln t)r)

Resposta

y(t) = t^4l(C1cos(5ln t)+C2sin(5ln t)r)

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