Resolva as equações de EULER.
3 t^2 y^prime prime+6 t y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
3,t^2y'' + 6,t,y' + y = 0
Em equações de Euler (ou Cauchy–Euler) a ideia é tentar uma solução do tipo
y(t) = t^m

Passo 2

Supondo y(t)=t^m, temos
y' = m,t^m-1, y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação original dá
3,t^2l[m(m-1),t^m-2r] +6,tl[m,t^m-1r] +1cdot t^m =0
e, factorizando t^m (não nulo para t>0), sobra a equação característica
3,m(m-1) + 6,m + 1 = 0

Passo 3

Desenvolvendo a característica,
3m^2 - 3m +6m +1 = 3m^2 +3m +1 = 0
O discriminante é
De<a = 3^2 - 4cdot3cdot1 = 9 - 12 = -3,
logo as raízes são
m = -3 pm iraiz36 = -tfrac12 pm i,tfracraiz36

Passo 4

Quando as raízes de Euler são complexas m = alphapm ibeta, a solução geral real é
y(t) = t^alphal(C1cos(betaln t) + C2sin(betaln t)r)
Aqui alpha = -tfrac12 e beta = tfracraiz36.

Resposta

y(t) = t^-tfrac12l(C1cosl(tfracraiz36ln tr) + C2sinl(tfracraiz36ln tr)r)

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