Questão 2. (2,5) Determine a área da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que está acima do plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
que fica acima do plano z=1. O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície de uma esfera (raio R=2) usando coordenadas esféricas, ou então a fórmula direta de “calot” esférico.

Passo 2

Em coordenadas esféricas centradas na origem, cada ponto da esfera é dado por
r=2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\pi,
com z=2\cos\varphi. A condição “acima de z=1” vira
2\cos\varphi\ge1 \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi\ge\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad 0\le\varphi\le\varphi_{\max},\quad\varphi_{\max}=\operatorname{arccos}\tfrac12=\tfrac\pi3.

Passo 3

A área de superfície de uma esfera r=R em coordenadas esféricas é
dS=R^{2}\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Aqui R=2, então
dS=4\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Integramos \theta de 0 a 2\pi e \varphi de 0 a \pi/3:
\text{Área} =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi/3}4\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =4\bigl(\!\int_{0}^{2\pi}d\theta\bigr)\bigl(\!\int_{0}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi\bigr).Á
Calculando cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/3} =1-\cos\tfrac\pi3 =1-\tfrac12 =\tfrac12.
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\text{Área} =4\times2\pi\times\tfrac12 =4\pi.Á

Resposta

A área da parte da esfera acima de z=1 é 4\pi.

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