Q 3 (2.0 ptos) Seja a função
cujo gráfico é uma superfície
. Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem. Sugestão: a função distância é definida por
. Minimize a função distância sobre a superfície
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos de
mais próximos da origem. Isso é um problema de otimização em duas variáveis: queremos minimizar a distância
sujeito à restrição .
mais próximos da origem. Isso é um problema de otimização em duas variáveis: queremos minimizar a distância
sujeito à restrição
Passo 2
Como
é monótona crescente, basta minimizar o quadrado da distância. Definimos
onde já substituímos
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Primeiro em relação a
:
Passo 4
Agora em relação a
:
Passo 5
Verificamos o Hessiano:
e
, com
.
Isso mostra que cada ponto crítico é mínimo local. Pelo domínio aberto em , são mínimos globais.
Isso mostra que cada ponto crítico é mínimo local. Pelo domínio aberto em
Resposta
Os pontos de
mais próximos da origem são