Q 3 (2.0 ptos) Seja a função f(x, y)=\frac{1}{x^{2}} cujo gráfico é uma superfície \mathcal{S} \subset \mathbb{R}^{3}. Determine os pontos da superfície \mathcal{S} que estão mais próximos da origem. Sugestão: a função distância é definida por d(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Minimize a função distância sobre a superfície \mathcal{S}.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de
\mathcal{S} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z = 1/x^2,\;x\neq0,\;y\in\mathbb{R}\}
mais próximos da origem. Isso é um problema de otimização em duas variáveis: queremos minimizar a distância
\displaystyle d(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
sujeito à restrição z=1/x^2.

Passo 2

Como \sqrt{\cdot} é monótona crescente, basta minimizar o quadrado da distância. Definimos
g(x,y) \;=\; x^2 + y^2 + \frac{1}{x^4}\,,
onde já substituímos z=1/x^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Primeiro em relação a y:
\frac{\partial g}{\partial y} \;=\; 2y \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.

Passo 4

Agora em relação a x:
\frac{\partial g}{\partial x} \;=\; 2x \;-\;4\,\frac{1}{x^5} \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 4\,x^{-5} \;\Longrightarrow\; x^6 = 2 \;\Longrightarrow\; x = \pm 2^{1/6}.

Passo 5

Verificamos o Hessiano:
\displaystyle g_{xx}=2+20\,x^{-6}>0 e g_{yy}=2>0, com g_{xy}=0.
Isso mostra que cada ponto crítico é mínimo local. Pelo domínio aberto em x\neq0, são mínimos globais.

Resposta

Os pontos de \mathcal{S} mais próximos da origem são
\bigl(2^{1/6},\,0,\,2^{-1/3}\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-2^{1/6},\,0,\,2^{-1/3}\bigr).

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