Q 4 (2.0 ptos) Seja a função f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{|x+y|}. Calcule os pontos críticos de f, classifique-os em pontos de mínimo, de máximo local ou de sela, caso existam.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{\lvert x+y\rvert}
e pede os pontos críticos (onde \nabla f=0 ou onde f não é diferenciável) e sua classificação. Para resolver, vamos usar cálculo de derivadas parciais e observar que a função envolve valor absoluto, o que gera duas “peças” no domínio: x+y>0 e x+y<0.

Passo 2

Note que
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y),
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f(x,y) =\frac{(x-y)(x+y)}{\lvert x+y\rvert} =(x-y)\,\frac{x+y}{\lvert x+y\rvert}.
Em particular, para
  1. x+y>0 temos \frac{x+y}{\lvert x+y\rvert}=1 e então f(x,y)=x-y.
  2. x+y<0 temos \frac{x+y}{\lvert x+y\rvert}=-1 e então f(x,y)=-(x-y)=y-x.
A linha x+y=0 faz \lvert x+y\rvert=0, onde f não está definida, portanto não faz parte do domínio.

Passo 3

Em cada região x+y>0 ou x+y<0, f é uma função afim (linear mais constante). Calculamos o gradiente:
  • Se x+y>0, então f(x,y)=x-y \quad\Longrightarrow\quad \nabla f=(\partial_xf,\partial_yf)=(1,\,-1).
  • Se x+y<0, então f(x,y)=y-x \quad\Longrightarrow\quad \nabla f=(\partial_xf,\partial_yf)=(-1,\,1).
Em nenhuma das duas regiões o gradiente se anula, pois (1,-1)\neq(0,0) e (-1,1)\neq(0,0).

Passo 4

Como não há pontos onde \nabla f=0 no domínio, e a fronteira x+y=0 não pertence ao domínio de f, concluímos que não existem pontos críticos. Além disso, em cada região a função é linear, o que significa que não há máximos nem mínimos locais nem pontos de sela.

Resposta

A função não possui pontos críticos em seu domínio, e portanto não há mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela.

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