Q 4 (2.0 ptos) Seja a função
. Calcule os pontos críticos de
, classifique-os em pontos de mínimo, de máximo local ou de sela, caso existam.
Passo 1
O enunciado define
e pede os pontos críticos (onde
ou onde
não é diferenciável) e sua classificação. Para resolver, vamos usar cálculo de derivadas parciais e observar que a função envolve valor absoluto, o que gera duas “peças” no domínio:
e
.
Passo 2
Note que
logo
Em particular, para
-
temos e então -
temos e então
A linha
faz
, onde
não está definida, portanto não faz parte do domínio.
Passo 3
Em cada região
ou
,
é uma função afim (linear mais constante). Calculamos o gradiente:
- Se
, então - Se
, então
Em nenhuma das duas regiões o gradiente se anula, pois
e
.
Passo 4
Como não há pontos onde
no domínio, e a fronteira
não pertence ao domínio de
, concluímos que não existem pontos críticos. Além disso, em cada região a função é linear, o que significa que não há máximos nem mínimos locais nem pontos de sela.
Resposta
A função não possui pontos críticos em seu domínio, e portanto não há mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela.