Sem tentar resolver as equações a seguir, classifique-as como linear, não-linear, separada, nãoseparada.
y^{\prime}=\frac{y}{x}+x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{y}{x} + x
e pede para classificá-la em termos de linearidade (linear ou não-linear) e separabilidade (separada ou não-separada).

Passo 2

Para testar se é linear, escrevemos na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x).
Reescrevendo
y' - \frac{1}{x}\,y = x,
vemos que p(x) = -1/x e q(x) = x dependem apenas de x. Portanto, é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 3

Para testar separabilidade, precisamos ver se dá para escrever
\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y).
Aqui
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + x = \frac{y + x^2}{x},
que não se decompõe num produto de uma função só de x por uma função só de y. Logo, não é separável.

Resposta

linear e não-separada.

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