Q 5 (2.0 ptos) Seja a função f(x, y)=x y+e^{x} \sin y sobre o quadrado \mathcal{R}=[-\pi, \pi] \times[-\pi, \pi] \subset \mathbb{R}^{2}. Calcule a integral dupla de f sobre \mathcal{R}, \iint_{\mathcal{R}} f(x, y) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para computar a integral dupla
\iint_{\mathcal{R}}f(x,y)\,dx\,dy,
onde \mathcal{R}=[-\pi,\pi]\times[-\pi,\pi] e
f(x,y)=x\,y + e^{x}\sin y.
O conteúdo principal é aplicar o Teorema de Fubini para retângulos, usar a linearidade da integral e explorar simetria de funções ímpares.

Passo 2

Pela linearidade da integral dupla, escrevemos
\iint_{\mathcal{R}}f(x,y)\,dx\,dy =\iint_{\mathcal{R}}x\,y\,dx\,dy \;+\;\iint_{\mathcal{R}}e^{x}\sin y\,dx\,dy.

Passo 3

Para a primeira parcela, como x\,y é produto de função de x por função de y, temos
\iint_{\mathcal{R}}x\,y\,dx\,dy =\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}y\,dy\Bigr).
Mas
\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx=0 \quad\text{e}\quad \int_{-\pi}^{\pi}y\,dy=0,
pois x\mapsto x e y\mapsto y são funções ímpares em intervalo simétrico. Logo a primeira parcela vale 0.

Passo 4

Para a segunda parcela, de novo separamos
\iint_{\mathcal{R}}e^{x}\sin y\,dx\,dy =\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}\sin y\,dy\Bigr).
O integral de \sin y sobre [-\pi,\pi] é
\int_{-\pi}^{\pi}\sin y\,dy =\bigl[-\cos y\bigr]_{-\pi}^{\pi} =-\cos(\pi)+\cos(-\pi) =-(-1)+(-1) =0.
Portanto essa parcela também é 0, independentemente de \int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\,dx.

Resposta

\iint_{\mathcal{R}}f(x,y)\,dx\,dy = 0.

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