Q 8 Sejam os vetores u=(2,-1,4), v=(1,1,2) e w=(4,-5,8) do R^3.
(a) Encontre uma base para S=[u, v, w];
(b) Escreva as equações que caracterizam S;
(c) O vetor (1,0,-2) pertence a S ?
(d) Seja Y=[(0,7,0)]. Determine Y cap S.

Passo 1

O enunciado dá os vetores ,u=(2,-1,4), ,v=(1,1,2) e ,w=(4,-5,8) em R^3 e define o subespaço S=Spanu,v,w. Vamos (a) achar uma base de S, (b) obter as equações que caracterizam o plano S, (c) verificar se (1,0,-2)in S e (d) determinar Ycap S para Y=Span(0,7,0).

Passo 2

Para achar uma base de
Isso dá o sistema
Da segunda equação , . A terceira confirma. Logo , ou seja, são independentes e geram . Uma base de é

Passo 3

Como dim S=2, S é um plano que passa pela origem. O vetor normal n pode ser obtido por
n = utimes v = e1 & e2 & e3 2 & -1 & 4 1 & 1 & 2 =(-6,0,3) =(-2,0,1)
A equação do plano S é então
ncdot(x,y,z)=0 Longrightarrow -2x +0cdot y +1cdot z = 0 Longrightarrow z - 2x = 0

Passo 4

Para ver se (1,0,-2) está em S, basta checar z-2x=0:
(-2) - 2cdot1 = -2 -2 = -4 neq 0
Logo (1,0,-2)notin S.

Passo 5

O subespaço Y=Span(0,7,0) é a reta (0,y,0)mid yin R. Todo (0,y,0) satisfaz
z-2x = 0 -2cdot0 = 0,
portanto Ysubset S. Isso implica
Ycap S = Y

Resposta

(a) Uma base de S é (2,-1,4),,(1,1,2).\n(b) As equações que caracterizam S são
z - 2x = 0
(c) (1,0,-2) não pertence a S.\n(d) Y cap S = Y = (0,y,0) mid y in R.

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