Resolva:
\int x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx
Este é um caso clássico de substituição simples: vamos reconhecer que a derivada de x^{4} envolve exatamente x^{3}\,dx.

Passo 2

Fazemos a troca
u = x^{4}
du = 4x^{3}\,dx
\implies x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du
Substituindo na integral, obtemos
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du

Passo 3

Agora integramos em u:
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C
Logo
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\sin(u) + C
Voltando a x, temos u = x^{4}.

Resposta

\frac{1}{4}\,\sin\bigl(x^{4}\bigr) + C

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