Q1 Aplicar a regra de L’Hopital para determinar o limite da sequencia
an=(3 n-13 n+1)^n

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an=l(3n-13n+1r)^n
quando ntoinfty, usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo é limite de sequência que pode ser convertido em exponencial para aplicar L’Hôpital numa forma indeterminada.

Passo 2

Escrevemos
an=expl(bnr),
onde
bn=nln!l(3n-13n+1r)
Então
limntoinftyan =exp!l(limntoinftybnr),
logo basta achar lim bn.

Passo 3

Para usar L’Hôpital, reescrevemos
bn =ln(3n-1)-ln(3n+1)1/n
Quando ntoinfty, o numerador tende a ln(1)-ln(1)=0 e o denominador tende a 0, gerando indeterminação 0/0.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a n:
derivada do numerador:
ddnl[ln(3n-1)-ln(3n+1)r] =33n-1-33n+1,
derivada do denominador:
ddnl(1/nr)=-1n^2
Assim
limntoinftybn =limntoinfty 33n-1-33n+1-1/n^2 =limntoinftyn^2!l(33n+1-33n-1r)

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro do limite:
n^2l(33n+1-33n-1r) =3n^2,(3n-1)-(3n+1)(3n+1)(3n-1) =3n^2,-29n^2-1 =-6n^29n^2-1
Quando ntoinfty, esse quociente tende a -6/9=-2/3. Logo
limntoinftybn=-tfrac23

Passo 6

Concluímos que
limntoinftyan =exp!l(limntoinftybnr) =expl(-tfrac23r)

Resposta

limntoinftyan=e^-tfrac23

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