Q3 Usa o teste da integral para determinar se a serie
sumn=1^infty 1n^2+16
converge?

Passo 1

A questão pede para usar o teste da integral e verificar a convergência da série sumn=1^infty1n^2+16. O conteúdo que precisamos é o teste da integral para séries infinitas, que exige uma função contínua, positiva e decrescente, e o cálculo de uma integral imprópria.

Passo 2

Definimos a função f(x)=1x^2+16, válida para x>=1. Primeiro, confirmamos que f(x) é positiva e decrescente em [1,infty). De fato, f(x)>0 e sua derivada é
f'(x)=-2x(x^2+16)^2<0para x>0,
mostrando que f(x) é decrescente.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, analisando a integral imprópria
integral1^inftydxx^2+16
Usamos a primitiva conhecida
integraldxx^2+a^2=1aarctanl( x ar),
com a=4. Assim,
integral1^inftydxx^2+16=iggl[14arctanl( x4r)gr]1^infty =14l(pi2-arctanl(tfrac14r)r), 
que é finito.

Passo 4

Como a integral converge (é um número finito), o teste da integral garante que a série sumn=1^infty1n^2+16 também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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