Q2 Encontre a soma da serie telescopica
sumn=1^infty 1(4 n-1)(4 n+3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
sumn=1^infty 1(4n-1)(4n+3)
O conteúdo principal é reconhecer que essa é uma série telescópica, e para isso vamos usar decomposição em frações parciais de cada termo, montar a soma parcial e tomar o limite.

Passo 2

Aplicamos frações parciais em
1(4n-1)(4n+3) = A4n-1 + B4n+3
Multiplicando em cruz obtemos
1 = A(4n+3) + B(4n-1) = 4n(A+B) + (3A - B)
Igualando coeficientes de n e constantes:
A+B=0 e 3A - B =1.
Daí B=-A e 4A=1, logo
A = tfrac14, B = -tfrac14
Portanto
1(4n-1)(4n+3) = 14,l(14n-1 - 14n+3r)

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N 1(4n-1)(4n+3) = 14 sumn=1^N l(14n-1 - 14n+3r)
Escrevendo os primeiros termos vê-se o cancelamento em “tesoura”:
SN = 14l( 13 - 17 + 17 - 111 + 111 - 115 + cdots + 14N-1 - 14N+3 r)
Todos os termos internos se anulam, sobrando
SN = 14l(13 - 14N+3r)

Passo 4

Para a soma infinita tomamos o limite Ntoinfty. Como 14N+3to0,
sumn=1^infty 1(4n-1)(4n+3) = limNtoinfty SN = 14,13 = 112

Resposta

112

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