[Q1] Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine
r(t)=lang<=45 cos t, 1-sin t,-35 cos trang<=
(1 ponto) O comprimento de arco quando t percorre o intervalo [0, pi].
(b) (1.5 pontos) A curvatura kappa(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 no ponto lang<=widetilde4 / 5, 1,-3^2 5rang<=

Passo 1

Temos uma curva parametrizada por r(t)=lang<= tfrac45cos t,,1-sin t,,-tfrac35cos trang<=. Precisamos de duas coisas: o comprimento de arco de t=0 a t=pi e a curvatura kappa(t)=|vec r'(t)timesvec r''(t)||vec r'(t)|^3 no ponto dado.

Passo 2

Para achar o comprimento de arco, primeiro calculamos a derivada vetorial:
vec r'(t)=lang<= -tfrac45sin t,,-cos t,,tfrac35sin trang<=
Em seguida, encontramos a norma:
|vec r'(t)|=raizl(tfrac45sin tr)^2+cos^2t+l(tfrac35sin tr)^2=raizsin^2t+cos^2t=1

Passo 3

Agora a teoria diz que o comprimento de arco é
L=integral0^pi|vec r'(t)|,dt=integral0^pi1,dt=pi

Passo 4

Para a curvatura, primeiro identificamos o parâmetro t do ponto lang<=4/5,1,-3/5rang<=. Igualando:
45cos t=45,1-sin t=1,-35cos t=-35
Isso dá cos t=1 e sin t=0, logo t=0.

Passo 5

Ainda usamos a segunda derivada:
vec r''(t)=lang<= -tfrac45cos t,,sin t,,tfrac35cos trang<=,
calculamos o produto vetorial e sua norma em geral:
vec r'(t)timesvec r''(t)=llang<= -tfrac35,0,-tfrac45rrang<=,
l|vec r'(t)timesvec r''(t)r|=raizl(tfrac35r)^2+l(tfrac45r)^2=1,
e como |vec r'(t)|=1, a curvatura é
kappa(t)=11^3=1

Resposta

(a) pi. (b) 1.

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