[Q1] Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine
(1 ponto)
comprimento de arco quando
percorre o intervalo
.
(b) (1.5 pontos) A curvatura
no ponto
(b) (1.5 pontos) A curvatura
Passo 1
Temos uma curva parametrizada por
. Precisamos de duas coisas: o comprimento de arco de
a
e a curvatura
no ponto dado.
Passo 2
Para achar o comprimento de arco, primeiro calculamos a derivada vetorial:
Em seguida, encontramos a norma:
Passo 3
Agora a teoria diz que o comprimento de arco é
Passo 4
Para a curvatura, primeiro identificamos o parâmetro
t do ponto
lang<=4/5,1,-3/5rang<= . Igualando:
Isso dá
cos t=1 e
sin t=0 , logo
t=0 .
Passo 5
Ainda usamos a segunda derivada:
calculamos o produto vetorial e sua norma em geral:
e como
|vec r'(t)|=1 , a curvatura é
Resposta
(a)
pi . (b)
1 .