[Q4] (a) (1 ponto) Seja
, onde
e
. Mostre que
b) (1 ponto) Supondo que a equação
lefina implicitamente uma função
, expresse
e
em termos de
e
Passo 1
Temos a função z = f(x,y) com x = s + t e y = s - t. O conteúdo é regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a s e t em termos de z_x e z_y.
Passo 2
Pela regra da cadeia, a derivada de z em relação a s é dada por ∂z/∂s = z_x · (∂x/∂s) + z_y · (∂y/∂s). Como x = s + t e y = s - t, temos ∂x/∂s = 1 e ∂y/∂s = 1, logo ∂z/∂s = z_x + z_y.
Passo 3
De modo análogo, para t obtemos ∂z/∂t = z_x · (∂x/∂t) + z_y · (∂y/∂t). Aqui ∂x/∂t = 1 e ∂y/∂t = -1, então ∂z/∂t = z_x - z_y.
Passo 4
Observe que (z_x + z_y)·(z_x - z_y) = z_x^2 - z_y^2. Como já vimos que ∂z/∂s = z_x + z_y e ∂z/∂t = z_x - z_y, conclui-se
, que era o que precisávamos mostrar.
Passo 5
Para a parte (b), defina a função implícita
. Como z=f(x,y), a condição é F=0. Aplicando derivada implícita em relação a x, temos
, ou seja
.
Passo 6
Calculemos as derivadas parciais de F:
e
. Logo
Passo 7
Na mesma lógica,
e novamente
. Portanto obtenemos as fórmulas desejadas.
Resposta
(a) Usando regra da cadeia, chegamos a
logo
(b) Da derivada implícita de
vem