[Q4] (a) (1 ponto) Seja z=f(x, y), onde x=s+t e y=s-t. Mostre que
(partial zpartial x)^2-(partial zpartial y)^2=partial zpartial s partial zpartial t
b) (1 ponto) Supondo que a equação
e^x+y+z+x y z=1
lefina implicitamente uma função z=f(x, y), expresse partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x, y e z

Passo 1

Temos a função z = f(x,y) com x = s + t e y = s - t. O conteúdo é regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a s e t em termos de z_x e z_y.

Passo 2

Pela regra da cadeia, a derivada de z em relação a s é dada por ∂z/∂s = z_x · (∂x/∂s) + z_y · (∂y/∂s). Como x = s + t e y = s - t, temos ∂x/∂s = 1 e ∂y/∂s = 1, logo ∂z/∂s = z_x + z_y.

Passo 3

De modo análogo, para t obtemos ∂z/∂t = z_x · (∂x/∂t) + z_y · (∂y/∂t). Aqui ∂x/∂t = 1 e ∂y/∂t = -1, então ∂z/∂t = z_x - z_y.

Passo 4

Observe que (z_x + z_y)·(z_x - z_y) = z_x^2 - z_y^2. Como já vimos que ∂z/∂s = z_x + z_y e ∂z/∂t = z_x - z_y, conclui-se zx^2 - zy^2 = (∂z/∂s)·(∂z/∂t), que era o que precisávamos mostrar.

Passo 5

Para a parte (b), defina a função implícita F(x,y,z)=e^x+y+z+x y z-1. Como z=f(x,y), a condição é F=0. Aplicando derivada implícita em relação a x, temos Fx + Fz·(∂z/∂x)=0, ou seja ∂z/∂x=-Fx/Fz.

Passo 6

Calculemos as derivadas parciais de F: Fx=e^x+y+z+y z e Fz=e^x+y+z+x y. Logo

Passo 7

Na mesma lógica, Fy=e^x+y+z+x z e novamente Fz=e^x+y+z+x y. Portanto obtenemos as fórmulas desejadas.

Resposta

(a) Usando regra da cadeia, chegamos a
∂z/∂s=zx+zy, ∂z/∂t=zx−zy,
logo
zx^2−zy^2=(zx+zy)(zx−zy)=(∂z/∂s)(∂z/∂t)
(b) Da derivada implícita de F=e^x+y+z+xyz−1=0 vem
∂z/∂x=−FxFz=−e^x+y+z+yze^x+y+z+xy,
∂z/∂y=−FyFz=−e^x+y+z+xze^x+y+z+xy

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