Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
24. y^prime-y=1+t e^t, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - y = 1 + t e^t, y(0)=0
usando transformada de Laplace. O que vamos precisar:
  1. A propriedade Ly'(s)=sY(s)-y(0).
  2. As transformadas L1(s)=1/s e Lt e^at(s)=1/(s-a)^2.
  3. Saber inverter transformadas por frações parciais.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace de cada termo e usamos y(0)=0:
Ly'(s)-Ly(s) =L1(s)+Lt e^t(s)
ou seja
l(sY(s)-0r)-Y(s) =1s+1(s-1)^2

Passo 3

Agrupando termos em Y(s)
(s-1),Y(s) =1s+1(s-1)^2 Longrightarrow Y(s) =1s(s-1)+1(s-1)^3

Passo 4

Fazemos frações parciais em 1/[s(s-1)]:
1s(s-1) =-1s+1s-1
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Y(s) =-1s+1s-1+1(s-1)^3

Passo 5

Invertendo cada termo pela tabela:
  • L^-1l(-1/sr) = -1.
  • L^-1l(1/(s-1)r) = e^t.
  • L^-1l(1/(s-1)^3r) = tfract^22,e^t
    (já que Lt^2 e^t=2!/(s-1)^3).
Portanto
y(t) = -1 + e^t + t^22,e^t

Resposta

y(t) = -1 + e^t + t^2 e^t2

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