Q1. Encontre a solução do PVI
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com força externa dada por um impulso de Dirac em
. Vamos dividir a solução em dois intervalos: antes de
e depois de
, usando a continuidade de
e o salto em
devido ao impulso.
Passo 2
Resolva a equação homogênea associada
A equação característica é
cuja raízes são
e
. Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Para
não há forçamento (
atua só em
), e as condições iniciais
,
implicam
. Assim,
Passo 4
Em
a força
gera um salto em
. Integramos a EDO de
a
:
já que
e
permanecem nulos. Como
, segue
e a continuidade de
dá
.
Passo 5
Para
a solução é novamente homogênea,
com condições em
:
Passo 6
Resolvendo o sistema para
e
:
da primeira equação . Substituindo em
:
da primeira equação
e então
Logo, para
,