Q1. Encontre a solução do PVI
l x^prime prime(t)-5 x^prime(t)+6 x(t)=de<a(t-1) x(0)=0, x^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x''(t)-5,x'(t)+6,x(t)=de<a(t-1), x(0)=0, x'(0)=0
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com força externa dada por um impulso de Dirac em t=1. Vamos dividir a solução em dois intervalos: antes de t=1 e depois de t=1, usando a continuidade de x e o salto em x' devido ao impulso.

Passo 2

Resolva a equação homogênea associada
x''-5x'+6x=0
A equação característica é
r^2-5r+6=0
cuja raízes são r=2 e r=3. Logo, a solução geral homogênea é
xh(t)=C1e^2t+C2e^3t

Passo 3

Para 0<= t<1 não há forçamento ( de<a atua só em t=1), e as condições iniciais x(0)=0, x'(0)=0 implicam C1=C2=0. Assim,
x(t)=0, 0<= t<1

Passo 4

Em t=1 a força de<a(t-1) gera um salto em x'. Integramos a EDO de 1^- a 1^+:
integral1^-^1^+l[x''-5x'+6xr],dt =integral1^-^1^+de<a(t-1),dt ;Longrightarrow; x'(1^+)-x'(1^-)=1,
já que integral x',dt e integral x,dt permanecem nulos. Como x'(1^-)=0, segue
x'(1^+)=1,
e a continuidade de x x(1^+)=x(1^-)=0.

Passo 5

Para t>1 a solução é novamente homogênea,
x(t)=A,e^2t+B,e^3t,
com condições em t=1:
x(1)=A,e^2+B,e^3=0, x'(1)=2A,e^2+3B,e^3=1

Passo 6

Resolvendo o sistema para A e B:
da primeira equação A,e^2=-B,e^3. Substituindo em x'(1)=1:
2(-B,e^3)+3B,e^3=1 ;Longrightarrow; B,e^3=1 ;Longrightarrow; B=e^-3,
e então
A=-B,e^3-2=-e^-2
Logo, para t>1,
x(t)=-e^-2e^2t+e^-3e^3t =e^3(t-1)-e^2(t-1)

Resposta

x(t)= 0,&0<= t<1, e^3(t-1)-e^2(t-1),&t>=1

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