Q2. Encontre a solução do PVI
l x^prime prime(t)-9 x(t)=de<a(t-2)-de<a(t-3), x(0)=0, x^prime(0)=0

Passo 1

O problema é resolver
x''(t)-9x(t)=de<a(t-2)-de<a(t-3),
com condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=0.
Aqui o conteúdo é EDO linear de segunda ordem forçada por pulsos de Dirac. Vamos usar transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados, lembrando que Lx''(s)=s^2X(s) (pois x(0)=x'(0)=0) e Lde<a(t-a)(s)=e^-as, obtemos
s^2X(s)-9X(s)=e^-2s-e^-3s
Logo
X(s)=e^-2s-e^-3ss^2-9

Passo 3

Para inverter usamos que
L^-1l1s^2-9r(t) =13sinh(3t),
e a propriedade de deslocamento
L^-1e^-asF(s)(t)=F(t-a),H(t-a)
Isso dá
x(t) =13sinhl(3(t-2)r),H(t-2) -13sinhl(3(t-3)r),H(t-3)

Passo 4

Em forma de partes, fica
para t<2:
x(t)=0,
para 2<= t<3:
x(t)=13sinhl(3(t-2)r),
para t>=3:
x(t)=13l[sinhl(3(t-2)r)-sinhl(3(t-3)r)r]

Resposta

x(t) =13sinhl(3(t-2)r),H(t-2) -13sinhl(3(t-3)r),H(t-3)

Exercícios relacionados