Q1. Encontre uma solução para o PVI y^prime prime-5 y^prime+6 y=e^x, y(0)=1, y^prime(0)=-1, y^prime prime(0)=2.

Passo 1

O problema propõe resolver o PVI de segunda ordem y''-5y'+6y=e^x com as condições y(0)=1, y'(0)=-1 e y''(0)=2. Aqui o conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo e^x, e vamos usar o método de solução geral (solução homogênea + particular).

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada y''-5y'+6y=0. A equação característica é
r^2-5r+6=0
que fatoriza em (r-2)(r-3)=0, dando raízes r=2 e r=3. Logo a solução homogênea é
yh(x)=C1e^2x+C2e^3x .

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma yp(x)=Ae^x. Substituindo em y''-5y'+6y=e^x temos
A e^x(1-5+6)=2A e^x t= e^x
Então 2A=1 e A=tfrac12. Assim
yp(x)=tfrac12e^x e a solução geral é
y(x)=C1e^2x+C2e^3x+tfrac12e^x

Passo 4

Calculamos y' e y'' e aplicamos as duas primeiras condições iniciais para determinar C1 e C2:
y'(x)=2C1e^2x+3C2e^3x+tfrac12e^x, y''(x)=4C1e^2x+9C2e^3x+tfrac12e^x
Em x=0:
y(0)=C1+C2+tfrac12=1implies C1+C2=tfrac12, y'(0)=2C1+3C2+tfrac12=-1implies 2C1+3C2=-tfrac32
Resolvendo, obtemos C1=3 e C2=-tfrac52.

Passo 5

Por fim verificamos a terceira condição: em x=0
y''(0)=4cdot3+9cdot(-tfrac52)+tfrac12=12-tfrac452+tfrac12= -10neq2
Isso mostra que não existe função que satisfaça y''-5y'+6y=e^x ao mesmo tempo com as três condições dadas, pois o problema de segunda ordem admite apenas duas condições iniciais.

Passo 6

Concluímos que o PVI está sobre-especificado e não possui solução que satisfaça todas as três condições iniciais simultaneamente.

Resposta

Não existe solução que satisfaça todas as condições iniciais dadas.

Exercícios relacionados