Q1. Encontre uma solução para o PVI
.
Passo 1
O problema propõe resolver o PVI de segunda ordem
com as condições
,
e
. Aqui o conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
, e vamos usar o método de solução geral (solução homogênea + particular).
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada
. A equação característica é
que fatoriza em
, dando raízes
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular da forma
. Substituindo em
temos
Então
e
. Assim
Passo 4
Calculamos
e
e aplicamos as duas primeiras condições iniciais para determinar
e
:
Em
:
Resolvendo, obtemos
e
.
Passo 5
Por fim verificamos a terceira condição: em
Isso mostra que não existe função que satisfaça
ao mesmo tempo com as três condições dadas, pois o problema de segunda ordem admite apenas duas condições iniciais.
Passo 6
Concluímos que o PVI está sobre-especificado e não possui solução que satisfaça todas as três condições iniciais simultaneamente.
Resposta
Não existe solução que satisfaça todas as condições iniciais dadas.