Q2. Encontre uma solução para o PVI y^prime prime-5 y^prime+6 y=e^2 x, y(0)=1, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial (PVI) da equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicação de condições iniciais. Vamos precisar resolver a parte homogênea, achar uma solução particular e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
r^2 - 5r + 6 = 0
As raízes são r=2 e r=3, logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^3x

Passo 3

Agora, buscamos uma solução particular yp para
y'' - 5y' + 6y = e^2x
Como e^2x é solução da homogênea, tentamos
yp(x) = A x e^2x
Cálculo de derivadas:
yp' = A(2x+1)e^2x,
yp'' = A(4x+4)e^2x

Passo 4

Substituindo em y'' - 5y' + 6y:
A[(4x+4) - 5(2x+1) + 6x]e^2x = A[-1]e^2x = -A e^2x
Para igualar a e^2x, precisamos de -A = 1, ou seja A=-1. Logo
yp(x) = -x e^2x

Passo 5

A solução geral é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x - x e^2x
Agora impomos as duas primeiras condições: y(0)=1 e y'(0)=1.
De y(0)=C1 + C2 = 1.
De y'(x)=2C1 e^2x+3C2 e^3x - e^2x -2x e^2x, segue y'(0)=2C1+3C2 -1 =1, ou seja 2C1+3C2=2.
Resolvendo o sistema C1+C2=1, 2C1+3C2=2 C1=1, C2=0.

Passo 6

Com isso obtemos
y(x) = e^2x - x e^2x = (1 - x)e^2x
Por fim, calculamos y''(0) usando a solução e vemos que
y''(0) = 0,
enquanto o enunciado pede y''(0)=2. Isso demonstra que a terceira condição inicial é incompatível com a equação e as duas primeiras condições.

Passo 7

Como a equação é de segunda ordem, não é possível satisfazer três condições iniciais independentes quando elas se contradizem. Portanto, não existe solução que satisfaça simultaneamente y(0)=1, y'(0)=1 e y''(0)=2.

Resposta

Não existe solução que satisfaça todas as três condições iniciais, pois a terceira é incompatível com a própria equação diferencial.

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