Q2. Encontre uma solução para o PVI
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial (PVI) da equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicação de condições iniciais. Vamos precisar resolver a parte homogênea, achar uma solução particular e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
As raízes são
e
, logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora, buscamos uma solução particular
para
Como
é solução da homogênea, tentamos
Cálculo de derivadas:
Passo 4
Substituindo em
:
Para igualar a
, precisamos de
, ou seja
. Logo
Passo 5
A solução geral é
Agora impomos as duas primeiras condições:
e
.
De
.
De
, segue
, ou seja
.
Resolvendo o sistema
,
dá
.
Passo 6
Com isso obtemos
Por fim, calculamos
usando a solução e vemos que
enquanto o enunciado pede
. Isso demonstra que a terceira condição inicial é incompatível com a equação e as duas primeiras condições.
Passo 7
Como a equação é de segunda ordem, não é possível satisfazer três condições iniciais independentes quando elas se contradizem. Portanto, não existe solução que satisfaça simultaneamente
,
e
.
Resposta
Não existe solução que satisfaça todas as três condições iniciais, pois a terceira é incompatível com a própria equação diferencial.