Q3. Encontre uma solução para o PVI y^prime prime-5 y^prime+6 y=cos (x), y(0)=1, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y''-5y'+6y=cos(x), y(0)=1,;y'(0)=1,;y''(0)=2
Este é um EDO de segunda ordem, logo basta duas condições iniciais para determinar a solução única. A terceira condição só faria sentido se fosse compatível com a equação; caso contrário, não existe solução que satisfaça as três simultaneamente.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
yh''-5yh'+6yh=0
O polinômio característico é
r^2-5r+6=0 ;Longrightarrow; r=2,;3
Portanto
yh(x)=C1e^2x+C2e^3x

Passo 3

Em seguida buscamos uma solução particular por coeficientes a determinar na forma
Calculamos
e substituímos em
Agrupando termos em e obtemos o sistema
Daí , logo

Passo 4

A solução geral do PVI (ignorando por ora a terceira condição) é
y(x)=C1e^2x+C2e^3x+110l(cos x-sin xr)
Impondo
y(0)=C1+C2+110=1, y'(x)=2C1e^2x+3C2e^3x-110(sin x+cos x),
y'(0)=2C1+3C2-110=1,
resolvemos
C1+C2=9/10, 2C1+3C2=11/10,
obtendo C1=8/5, C2=-7/10. Assim
y(x)=85e^2x-710e^3x+110l(cos x-sin xr)

Passo 5

Agora calculamos a derivada segunda em x=0 para verificar a terceira condição:
y''(x)=4C1e^2x+9C2e^3x-110(cos x-sin x) ;Longrightarrow; y''(0)=4cdot85+9cdotl(-tfrac710r)-110=0
Mas a condição dada exige y''(0)=2. Há, portanto, incompatibilidade entre as três condições.

Resposta

Não existe solução do PVI com as três condições simultâneas, pois o valor de y''(0) obtido da equação é 0 e não 2.

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