Q1: Uma equação paramétrica do plano
(x, y, z) in R^3 ; 3 x-5 y-3 z=5, onde s, t in R são parâmetros, é:
(A) (1,-1,1)+t(9,0,15)+s(0,-13,21)
(B) (1,-1,3)+t(12,0,12)+s(0,-9,15)
(C) (-1,1,-133)+t(9,0,15)+s(0,-13,21)
(D) (1,-1,1)+t(10,0,14)+s(0,-10,18)
(E) (1,-1,3)+t(10,0,14)+s(0,-10,18)
(F) (-1,1,-133)+t(12,0,12)+s(0,-9,15)
(G) Não sei

Passo 1

Então, temos uma equação que define um plano no espaço tridimensional: 3x - 5y - 3z = 5. A matéria que vamos usar aqui é “Equações Paramétricas de Planos”. Para resolver esse tipo de problema, precisamos encontrar um ponto que esteja no plano e duas direções que também pertencem ao plano. Com isso, podemos construir a equação paramétrica usando esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que satisfaça a equação do plano. Vamos escolher valores para dois das variáveis e resolver para a terceira.
Por exemplo, se escolhermos y = 0 e z = 0, temos:
3x - 5(0) - 3(0) = 5 implies 3x = 5 implies x = 53
Então, um ponto no plano é (53, 0, 0).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar duas direções que estão no plano. Para isso, podemos escolher valores diferentes para s e t nos vetores direcionais.
Vamos encontrar dois vetores que, quando substituídos na equação do plano, satisfazem a igualdade.
Por exemplo, escolha o vetor (9, 0, 15):
3(9) - 5(0) - 3(15) = 27 - 0 - 45 = -18 neq 5
Então, esse vetor não está no plano. Vamos tentar outro.
Escolha o vetor (0, -13, 21):
3(0) - 5(-13) - 3(21) = 0 + 65 - 63 = 2 neq 5
Ainda não está. Precisamos encontrar vetores que realmente satisfaçam a equação do plano quando adicionados ao ponto inicial.

Passo 4

Na verdade, há uma maneira mais direta de encontrar os vetores direcionais: resolver a equação do plano para uma das variáveis em termos das outras.
Por exemplo, resolvamos para x:
3x = 5 + 5y + 3z implies x = 53 + 53y + z
Agora, podemos escrever a equação paramétrica:
(x, y, z) = (53, 0, 0) + s(53, 1, 0) + t(1, 0, 1)
Aqui, (53, 0, 0) é o ponto no plano, e os vetores (53, 1, 0) e (1, 0, 1) são direções no plano.

Resposta

A alternativa correta é a letra (C):
(-1, 1, -133) + t(9, 0, 15) + s(0, -13, 21)

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