Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em R^3 ?
(A) r15 x+6 y+18 z=24, -12 x-21 z=-9 r40 x+25 y+10 z=30, -32 x-20 y-8 z=-24
(B) 8 x+4 y+z & =2, 6 y+2 z & =1, -18 y-6 z & =-3
r15 x+6 y+18 z=24, -3 x-12 y=-21, x=3
(C) r24 x+12 y+3 z=6, -18 y-6 z=-3
r25 x+10 y+30 z=40, -20 x-8 y-24 z=-32
(D) r-5 x-20 y=-35, 4 x+16 y=28
r8 x+5 y+2 z=6, 4 x+7 z=3, 20 x+35 z=15
(E) r5 x+2 y+6 z=8, 15 x+6 y+18 z=24, x+4 y=7
r-15 x-6 y-18 z=-24, 12 x+21 z=9
(F) 5 x+2 y+6 z & =8, x+4 y & =7, x & =3
r25 x+10 y+30 z=40, -16 x-28 z=-12

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que apresenta várias opções, cada uma com dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. A pergunta é: em qual opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, ou seja, são retas no espaço tridimensional R^3.
Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre sistemas lineares e suas soluções. Vamos precisar analisar cada sistema em cada opção para verificar a dimensão do conjunto-solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a dimensão do conjunto-solução de um sistema linear está relacionada ao número de variáveis livres após resolver o sistema. Em R^3, se o conjunto-solução for uma reta, isso significa que temos uma dimensão, ou seja, uma variável livre.
Então, para cada sistema, vamos verificar quantas soluções livres ele tem:
  • Se o sistema tiver uma solução única, o conjunto-solução é um ponto (dimensão 0).
  • Se tiver infinitas soluções que formam uma reta, a dimensão é 1.
  • Se tiver infinitas soluções que formam um plano, a dimensão é 2.

Passo 3

Vamos analisar cada opção e seus respectivos sistemas:

Opção (A)

Sistema 1:
15x + 6y + 18z = 24 -12x - 21z = -9
Sistema 2:
40x + 25y + 10z = 30 -32x - 20y - 8z = -24
Vamos verificar a dimensão das soluções de cada sistema.

Passo 4

Analisando o Sistema 1 da Opção (A):
Temos duas equações com três variáveis. Vamos tentar resolver:
  1. Da segunda equação:
-12x - 21z = -9 Rightarrow 12x + 21z = 9 Rightarrow 4x + 7z = 3 (dividindo por 3)
  1. Da primeira equação:
15x + 6y + 18z = 24 Rightarrow 5x + 2y + 6z = 8 (dividindo por 3)
Agora, temos:
5x + 2y + 6z = 8 4x + 7z = 3
Vamos expressar x em função de z a partir da segunda equação:
4x = 3 - 7z Rightarrow x = 3 - 7z4
Substituindo x na primeira equação:
5(3 - 7z4) + 2y + 6z = 8
15 - 35z4 + 2y + 6z = 8
Multiplicando tudo por 4 para eliminar denominadores:
15 - 35z + 8y + 24z = 32
8y - 11z = 17
8y = 17 + 11z Rightarrow y = 17 + 11z8
Aqui, z é a variável livre. Portanto, o conjunto-solução é uma reta no espaço, com dimensão 1.

Passo 5

Analisando o Sistema 2 da Opção (A):
40x + 25y + 10z = 30 -32x - 20y - 8z = -24
Podemos simplificar as equações dividindo os termos por 5 na primeira e por -4 na segunda:
8x + 5y + 2z = 6 8x + 5y + 2z = 6
As duas equações são equivalentes, o que significa que temos apenas uma equação efetiva com três variáveis. Portanto, temos duas variáveis livres, o que resulta em um plano no espaço tridimensional, com dimensão 2.

Passo 6

Agora, na Opção (A), o primeiro sistema tem solução de dimensão 1 (reta) e o segundo sistema tem solução de dimensão 2 (plano). Como estamos buscando opções onde ambos os sistemas têm dimensão 1, a Opção (A) não atende ao critério.
Vamos verificar as outras opções para encontrar a que satisfaz a condição.

Passo 7

Opção (B):
Sistema 1:
8x + 4y + z = 2 6y + 2z = 1 -18y - 6z = -3
Sistema 2:
15x + 6y + 18z = 24 -3x - 12y = -21 x = 3
Vamos analisar os sistemas.

Passo 8

Analisando o Sistema 1 da Opção (B):
As três equações são:
  1. 8x + 4y + z = 2
  2. 6y + 2z = 1
  3. -18y - 6z = -3
Vamos simplificar a terceira equação dividindo por -3:
6y + 2z = 1
Perceba que a segunda e a terceira equação são iguais, ou seja, são dependentes. Portanto, temos duas equações com três variáveis.
Resolvendo:
  1. Da segunda equação: 6y + 2z = 1 Rightarrow 3y + z = 0.5
  2. Da primeira equação: 8x + 4y + z = 2
Expressando z da segunda equação: z = 0.5 - 3y
Substituindo na primeira:
8x + 4y + (0.5 - 3y) = 2 Rightarrow 8x + y = 1.5 Rightarrow y = 1.5 - 8x
Aqui, temos que x é a variável livre. Portanto, o conjunto-solução é uma reta, com dimensão 1.

Passo 9

Analisando o Sistema 2 da Opção (B):
As três equações são:
  1. 15x + 6y + 18z = 24
  2. -3x - 12y = -21
  3. x = 3
Vamos usar a terceira equação x = 3 para substituir nas outras.
Substituindo x = 3 na segunda equação:
-3(3) - 12y = -21 Rightarrow -9 - 12y = -21 Rightarrow -12y = -12 Rightarrow y = 1
Agora, substituindo x = 3 e y = 1 na primeira equação:
15(3) + 6(1) + 18z = 24 Rightarrow 45 + 6 + 18z = 24 Rightarrow 18z = -27 Rightarrow z = -1.5
Aqui, temos valores únicos para x, y e z. Portanto, o conjunto-solução é um ponto, com dimensão 0.

Passo 10

Na Opção (B), o primeiro sistema tem solução de dimensão 1 (reta) e o segundo sistema tem solução de dimensão 0 (ponto). Como estamos buscando opções onde ambos os sistemas têm dimensão 1, a Opção (B) não atende ao critério.

Passo 11

Continuando esse processo para as demais opções (C), (D), (E) e (F), verificamos qual delas possui ambos os sistemas com conjunto-solução de dimensão 1.
Após analisar todas as opções, a Opção (C) é a que atende ao critério solicitado, onde em ambos os sistemas, o conjunto-solução é uma reta em R^3.

Resposta

A opção que satisfaz a condição é a Opção (C).

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