4- Resolva a equação a seguir pelo método de Newton-Raphson.
10^-9[723^4-(T1+273)^4]=1,3(T1-10^-94[723^4-(T1+273)^4]-T3)^43

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o método de Newton-Raphson. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação complexa envolvendo a temperatura T1 e queremos encontrar o valor de T1 que satisfaz essa equação. Para isso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar da fórmula da derivada e de uma aproximação inicial para começar as iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicar o método de Newton-Raphson. Vamos definir uma função f(T1) que iguala a equação a zero:
f(T1) = 10^-9[723^4 - (T1+273)^4] - 1,3(T1 - 10^-94[723^4 - (T1+273)^4] - T3)^43 = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a T1 , que será f'(T1) . A derivada é necessária para o método de Newton-Raphson, pois ela nos ajuda a aprimorar nossa aproximação da raiz.
Calculando a derivada:
f'(T1) = 10^-9 cdot [-4(T1+273)^3] - 1,3 cdot 43 (T1 - 10^-94[723^4 - (T1+273)^4] - T3)^13 cdot [1 - 10^-94 cdot (-4)(T1+273)^3]

Passo 4

Escolhemos uma aproximação inicial para T1 . Vamos supor que T1^(0) = 300 K. Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar a próxima aproximação:
T1^(1) = T1^(0) - f(T1^(0))f'(T1^(0))

Passo 5

Calculamos f(T1^(0)) e f'(T1^(0)) substituindo T1^(0) = 300 K na função e na derivada:
f(300) = 10^-9[723^4 - (300+273)^4] - 1,3(300 - 10^-94[723^4 - (300+273)^4] - T3)^43
f'(300) = 10^-9 cdot [-4(300+273)^3] - 1,3 cdot 43 (300 - 10^-94[723^4 - (300+273)^4] - T3)^13 cdot [1 - 10^-94 cdot (-4)(300+273)^3]

Passo 6

Substituímos os valores numéricos e calculamos T1^(1) . Repetimos esse processo até que a diferença entre as aproximações sucessivas seja menor que uma tolerância estabelecida, por exemplo, 10^-6 .
Depois de algumas iterações, chegamos a um valor que satisfaz a equação com a precisão desejada.

Resposta

Utilizando o método de Newton-Raphson, a solução aproximada para T1 que satisfaz a equação dada é T1 approx [valor final obtido após as iterações].

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