Q3: Sabendo que o ponto (-3,-1,-3, k) pertence ao plano (-2,2,-1,1)+span(-2,-1,-2,2),(3,-1,2,-1), assinale o valor de k :
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto (-3, -1, -3, k) que está pertencendo a um plano definido por (-2, 2, -1, 1) mais todas as combinações lineares das direções (-2, -1, -2, 2) e (3, -1, 2, -1). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor de k que faz esse ponto estar nesse plano. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente a ideia de combinação linear e equações de planos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o ponto (-3, -1, -3, k) está no plano dado. Isso quer dizer que podemos escrever esse ponto como uma combinação linear do ponto base (-2, 2, -1, 1) mais um múltiplo do primeiro vetor da direção (-2, -1, -2, 2) e um múltiplo do segundo vetor da direção (3, -1, 2, -1). Ou seja:
(-3, -1, -3, k) = (-2, 2, -1, 1) + a cdot (-2, -1, -2, 2) + b cdot (3, -1, 2, -1)
Aqui, a e b são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos separar isso em componentes para facilitar. Isso nos dá um sistema de equações para cada coordenada:
  1. Primeira coordenada:
-3 = -2 + (-2)a + 3b
  1. Segunda coordenada:
-1 = 2 + (-1)a + (-1)b
  1. Terceira coordenada:
-3 = -1 + (-2)a + 2b
  1. Quarta coordenada:
k = 1 + 2a + (-1)b
Nossa meta é encontrar os valores de a e b das três primeiras equações e depois usar esses valores para descobrir k na quarta equação.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Vamos começar com a segunda equação para simplificar:
-1 = 2 - a - b
Rearranjando:
-1 - 2 = -a - b -3 = -a - b a + b = 3 (Equação 2) çã
Agora, vamos para a primeira equação:
-3 = -2 - 2a + 3b
Rearranjando:
-3 + 2 = -2a + 3b -1 = -2a + 3b (Equação 1) çã
E a terceira equação:
-3 = -1 - 2a + 2b
Rearranjando:
-3 + 1 = -2a + 2b -2 = -2a + 2b (Equação 3) çã

Passo 5

Agora temos o seguinte sistema com duas equações:
  1. -1 = -2a + 3b (Equação 1)
  2. -2 = -2a + 2b (Equação 3)
  3. a + b = 3 (Equação 2)
Vamos tentar eliminar uma variável. Subtraindo a Equação 3 da Equação 1:
(-1) - (-2) = (-2a + 3b) - (-2a + 2b) 1 = b
Então, encontramos que b = 1.

Passo 6

Com b = 1, vamos usar a Equação 2 para encontrar a:
a + 1 = 3 a = 3 - 1 a = 2
Agora temos a = 2 e b = 1.

Passo 7

Finalmente, vamos usar esses valores na quarta equação para encontrar k:
k = 1 + 2a - b k = 1 + 2(2) - 1 k = 1 + 4 - 1 k = 4

Resposta

O valor de k é 4.

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