Q3: Sabendo que o ponto
pertence ao plano
, assinale o valor de
:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
(I) Não sei
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto
que está pertencendo a um plano definido por
mais todas as combinações lineares das direções
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor de
que faz esse ponto estar nesse plano. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente a ideia de combinação linear e equações de planos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o ponto
está no plano dado. Isso quer dizer que podemos escrever esse ponto como uma combinação linear do ponto base
mais um múltiplo do primeiro vetor da direção
e um múltiplo do segundo vetor da direção
. Ou seja:
Aqui,
e
são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos separar isso em componentes para facilitar. Isso nos dá um sistema de equações para cada coordenada:
- Primeira coordenada:
- Segunda coordenada:
- Terceira coordenada:
- Quarta coordenada:
Nossa meta é encontrar os valores de
e
das três primeiras equações e depois usar esses valores para descobrir
na quarta equação.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Vamos começar com a segunda equação para simplificar:
Rearranjando:
Agora, vamos para a primeira equação:
Rearranjando:
E a terceira equação:
Rearranjando:
Passo 5
Agora temos o seguinte sistema com duas equações:
-
(Equação 1) -
(Equação 3) -
(Equação 2)
Vamos tentar eliminar uma variável. Subtraindo a Equação 3 da Equação 1:
Então, encontramos que
.
Passo 6
Com
, vamos usar a Equação 2 para encontrar
:
Agora temos
e
.
Passo 7
Finalmente, vamos usar esses valores na quarta equação para encontrar
:
Resposta
O valor de
é 4.