Questão 5 Sejam A=(ai j) in M50 times 50, com ai j=i, e x=(x1, x2, ldots, xm).
(a) Verifique se x é solução do sistema A X=0. Responda apenas verdadeiro ou falso.
(b) Determine a matriz E=(ei j) que é a forma reduzida de echelon da matriz A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz Ain M50times50 com entradas
aij=i,
isto é, cada linha i é o vetor (i,i,dots,i), e o vetor genérico x=(x1,dots,x50). Precisamos (a) checar se esse x satisfaz A x=0 e (b) obter a forma reduzida em escada (RREF) de A.

Passo 2

Calculemos a i-ésima componente do produto A x:
(Ax)i ;=;sumj=1^50aij,xj ;=;sumj=1^50i,xj ;=;isumj=1^50xj

Passo 3

Para A x=0 é preciso (Ax)i=0 para todo i=1,dots,50. Como ineq0, isso equivale a
sumj=1^50xj=0
Logo, um vetor x genérico não satisfaz Ax=0, somente aqueles cuja soma das componentes seja zero. Portanto, sem essa condição extra, x não é solução.

Passo 4

Para o RREF, note que todas as linhas de A são múltiplos da primeira:
linha1=(1,1,dots,1), linhai=i,(1,1,dots,1)
Basta zerar as linhas 2 a 50 por
Ri Ri - i,R1, i=2,dots,50,
ficando só a primeira linha não nula.

Passo 5

A primeira linha já tem 1 em a11, então em RREF ela permanece
(1,1,dots,1),
e todas as outras se tornam zero. Assim a forma reduzida em escada E=(eij) é dada por
e1j=1(j=1,dots,50), eij=0(i=2,dots,50,;j=1,dots,50)

Resposta

(a) falso
(b) A matriz E tem primeira linha (1,1,dots,1) e todas as demais linhas iguais a zero.

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