Q3. Forma radial de Poisson em simetria esférica. Assuma
(
).
Mostre que
e, usando
, obtenha a forma radial de Poisson:
Explique por que essa equação equivale à Lei de Gauss quando integrada numa esfera de raio
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado assume que a potencial
depende apenas da distância radial
, ou seja
. Pede-se que seja mostrado:
- a expressão da laplaciana para função radial:
; - usando
, obter a forma radial de Poisson
Também pede-se explicar por que essa equação, quando integrada numa esfera de raio
, é equivalente à Lei de Gauss (forma integral).
Lista das informações dadas que vamos usar:
-
(dependência somente radial); - definição do campo gravitacional
e sua componente radial ; - a equação de Poisson no espaço (forma diferencial usual)
(convenção usada aqui: lado direito ).
Passo 2
Descrição intuitiva do gradiente para função radial e do passo para obter a laplaciana.
Primeiro, para função que depende só de
, o gradiente aponta na direção radial e seu módulo é a derivada radial:
Isto vem da definição do gradiente e do fato de que variações só ocorrem se
muda; escrever isso em palavras: mover-se num pequeno deslocamento
produz variação
, logo o vetor gradiente só tem componente radial.
Agora a laplaciana é
. Então precisamos da divergência de um campo puramente radial
. Vou deduzir a fórmula da divergência por um argumento físico geométrico (fluxo por volume), que é bem direto e é útil na prova.
Definição (intuitiva) de divergência: para um pequeno volume
em torno de um ponto,
é o fluxo líquido por unidade de volume quando o volume encolhe. Para um campo radial
, o fluxo através de uma esfera de raio
é
pois em cada ponto da esfera
e a área total é
.
Considere agora um casquete esférico entre raios
e
. O fluxo líquido saindo do volume dessa casca é aproximadamente
O volume da casca vale
. Então a divergência, definida como fluxo líquido por unidade de volume, é
Portanto, para campo radial
,
Aplicando isso ao gradiente
(aqui
), obtemos a laplaciana radial:
Esse é exatamente o resultado pedido. (Observação: a mesma fórmula pode ser obtida a partir da expressão completa da laplaciana em coordenadas esféricas quando
não depende de ângulos; aqui usei um argumento geométrico direto, que costuma ser mais simples e intuitivo.)
Passo 3
Usar
para obter a forma radial de Poisson.
Definindo a componente radial do campo gravitacional por
, pelo enunciado
Substituindo isso na expressão da laplaciana que acabamos de encontrar:
A equação de Poisson para o potencial gravitacional (forma diferencial) é
Substituindo a expressão anterior para
e reordenando os sinais resulta
ou, multiplicando por
,
Esta é a forma radial de Poisson pedida.
Passo 4
Mostrar a equivalência com a Lei de Gauss ao integrar sobre uma esfera de raio
.
Parte 1 — integração direta da forma diferencial. Reescrevendo a equação radial:
Integrando ambos os lados de
até
(assumindo regularidade em
de modo que
quando
):
Definindo a massa interna contida até o raio
como
temos
ou seja
Esta é precisamente a forma integral (ou familiar) da Lei de Gauss/Newton para gravitação: o fluxo do campo gravitacional através da superfície esférica de raio
é proporcional à massa contida.
Parte 2 — argumento pelo Teorema da Divergência (forma mais formal). A equação diferencial que obtivemos é equivalente a
porque
para campo radial. Aplicando o Teorema da Divergência em uma esfera de raio
,
O lado esquerdo, pela equação diferencial, vale
. O lado direito é o fluxo através da esfera:
. Igualando:
daí recupera-se
. Isso demonstra que a forma diferencial radial de Poisson é equivalente à Lei de Gauss quando integrada sobre uma esfera — elas contêm a mesma informação: a divergência do campo (fonte local) determina o fluxo através de superfícies fechadas (massa total dentro).