Q3. Forma radial de Poisson em simetria esférica. Assuma \Phi=\Phi(r) ( \operatorname{com} r=|\mathbf{r}| ).
Mostre que
\nabla^{2} \Phi(r)=\frac{1}{r^{2}} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} r}\left(r^{2} \frac{\mathrm{~d} \Phi}{\mathrm{~d} r}\right)
e, usando \mathbf{g}(r)=-\nabla \Phi=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} r} \hat{\mathbf{r}}, obtenha a forma radial de Poisson:
\frac{1}{r^{2}} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} r}\left(r^{2} g_{r}(r)\right)=-4 \pi G \rho(r) .
Explique por que essa equação equivale à Lei de Gauss quando integrada numa esfera de raio r.

Passo 1

O enunciado assume que a potencial \Phi depende apenas da distância radial r=|\mathbf{r}|, ou seja \Phi=\Phi(r). Pede-se que seja mostrado:
  • a expressão da laplaciana para função radial: \nabla^{2}\Phi(r)=\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2}\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}\right);
  • usando \mathbf{g}(r)=-\nabla\Phi=-\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}\,\hat{\mathbf{r}}, obter a forma radial de Poisson
\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2} g_{r}(r)\right)=-4\pi G\rho(r).
Também pede-se explicar por que essa equação, quando integrada numa esfera de raio r, é equivalente à Lei de Gauss (forma integral).
Lista das informações dadas que vamos usar:
  • \Phi=\Phi(r) (dependência somente radial);
  • definição do campo gravitacional \mathbf{g}=-\nabla\Phi e sua componente radial g_{r}(r);
  • a equação de Poisson no espaço (forma diferencial usual) \nabla^{2}\Phi=4\pi G\rho (convenção usada aqui: lado direito +4\pi G\rho).

Passo 2

Descrição intuitiva do gradiente para função radial e do passo para obter a laplaciana.
Primeiro, para função que depende só de r, o gradiente aponta na direção radial e seu módulo é a derivada radial:
\nabla\Phi(r)=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}\,\hat{\mathbf{r}}.
Isto vem da definição do gradiente e do fato de que variações só ocorrem se r muda; escrever isso em palavras: mover-se num pequeno deslocamento \mathrm{d}\mathbf{r} produz variação \mathrm{d}\Phi=(\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}r)\,\mathrm{d}r, logo o vetor gradiente só tem componente radial.
Agora a laplaciana é \nabla^{2}\Phi=\nabla\cdot(\nabla\Phi). Então precisamos da divergência de um campo puramente radial \mathbf{A}(r)=A_{r}(r)\,\hat{\mathbf{r}}. Vou deduzir a fórmula da divergência por um argumento físico geométrico (fluxo por volume), que é bem direto e é útil na prova.
Definição (intuitiva) de divergência: para um pequeno volume V em torno de um ponto, \nabla\cdot\mathbf{A} é o fluxo líquido por unidade de volume quando o volume encolhe. Para um campo radial A_{r}(r)\hat{\mathbf{r}}, o fluxo através de uma esfera de raio r é
\Phi_{\text{fluxo}}(r)=\oint_{S_r}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=A_{r}(r)\times 4\pi r^{2},
pois em cada ponto da esfera \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=A_{r}(r)\, \mathrm{d}S e a área total é 4\pi r^{2}.
Considere agora um casquete esférico entre raios r e r+\mathrm{d}r. O fluxo líquido saindo do volume dessa casca é aproximadamente
\mathrm{d}\Phi_{\text{fluxo}}=\Phi_{\text{fluxo}}(r+\mathrm{d}r)-\Phi_{\text{fluxo}}(r) =4\pi\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\big(r^{2}A_{r}(r)\big)\,\mathrm{d}r.
O volume da casca vale \mathrm{d}V\approx 4\pi r^{2}\mathrm{d}r. Então a divergência, definida como fluxo líquido por unidade de volume, é
\nabla\cdot\mathbf{A}=\lim_{\mathrm{d}r\to0}\frac{\mathrm{d}\Phi_{\text{fluxo}}}{\mathrm{d}V} =\frac{4\pi\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{2}A_{r})\,\mathrm{d}r}{4\pi r^{2}\mathrm{d}r} =\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\big(r^{2}A_{r}\big).
Portanto, para campo radial A_{r}\hat{\mathbf{r}},
\nabla\cdot\big(A_{r}(r)\,\hat{\mathbf{r}}\big)=\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\big(r^{2}A_{r}(r)\big).
Aplicando isso ao gradiente \nabla\Phi=\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}\,\hat{\mathbf{r}} (aqui A_{r}=\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}r), obtemos a laplaciana radial:
\nabla^{2}\Phi(r)=\nabla\cdot(\nabla\Phi)=\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}\right).
Esse é exatamente o resultado pedido. (Observação: a mesma fórmula pode ser obtida a partir da expressão completa da laplaciana em coordenadas esféricas quando \Phi não depende de ângulos; aqui usei um argumento geométrico direto, que costuma ser mais simples e intuitivo.)

Passo 3

Usar \mathbf{g}(r)=-\nabla\Phi para obter a forma radial de Poisson.
Definindo a componente radial do campo gravitacional por \mathbf{g}(r)=g_{r}(r)\,\hat{\mathbf{r}}, pelo enunciado
g_{r}(r)=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}.
Substituindo isso na expressão da laplaciana que acabamos de encontrar:
\nabla^{2}\Phi(r) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}\right) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(-r^{2} g_{r}(r)\right) =-\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2} g_{r}(r)\right).
A equação de Poisson para o potencial gravitacional (forma diferencial) é
\nabla^{2}\Phi(r)=4\pi G\rho(r).
Substituindo a expressão anterior para \nabla^{2}\Phi e reordenando os sinais resulta
-\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2} g_{r}(r)\right)=4\pi G\rho(r),
ou, multiplicando por -1,
\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2} g_{r}(r)\right)=-4\pi G\rho(r).
Esta é a forma radial de Poisson pedida.

Passo 4

Mostrar a equivalência com a Lei de Gauss ao integrar sobre uma esfera de raio r.
Parte 1 — integração direta da forma diferencial. Reescrevendo a equação radial:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\big(r^{2} g_{r}(r)\big)=-4\pi G\, r^{2}\rho(r).
Integrando ambos os lados de 0 até r (assumindo regularidade em r=0 de modo que r^{2}g_{r}\to 0 quando r\to 0):
r^{2}g_{r}(r)-0=-4\pi G\int_{0}^{r}\rho(r')\,r'^{2}\mathrm{d}r'.
Definindo a massa interna contida até o raio r como
M(r)=\int_{V_{r}}\rho\,\mathrm{d}V=4\pi\int_{0}^{r}\rho(r')\,r'^{2}\mathrm{d}r',
temos
r^{2}g_{r}(r)=-G M(r),
ou seja
g_{r}(r)=-\frac{G M(r)}{r^{2}}.
Esta é precisamente a forma integral (ou familiar) da Lei de Gauss/Newton para gravitação: o fluxo do campo gravitacional através da superfície esférica de raio r é proporcional à massa contida.
Parte 2 — argumento pelo Teorema da Divergência (forma mais formal). A equação diferencial que obtivemos é equivalente a
\nabla\cdot\mathbf{g}=-4\pi G \rho,
porque \nabla\cdot\mathbf{g}=(1/r^{2})\mathrm{d}(r^{2}g_{r})/\mathrm{d}r para campo radial. Aplicando o Teorema da Divergência em uma esfera de raio r,
\int_{V_{r}}\nabla\cdot\mathbf{g}\,\mathrm{d}V=\oint_{S_{r}}\mathbf{g}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}.
O lado esquerdo, pela equação diferencial, vale \int_{V_{r}}(-4\pi G\rho)\,\mathrm{d}V=-4\pi G M(r). O lado direito é o fluxo através da esfera: \oint_{S_{r}}\mathbf{g}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=g_{r}(r)\times 4\pi r^{2}. Igualando:
4\pi r^{2} g_{r}(r)=-4\pi G M(r),
daí recupera-se g_{r}(r)=-G M(r)/r^{2}. Isso demonstra que a forma diferencial radial de Poisson é equivalente à Lei de Gauss quando integrada sobre uma esfera — elas contêm a mesma informação: a divergência do campo (fonte local) determina o fluxo através de superfícies fechadas (massa total dentro).

Resposta

\nabla^{2}\Phi(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}\right)
\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2} g_{r}(r)\right)=-4\pi G\rho(r)
r^{2}g_{r}(r)=-4\pi G\int_{0}^{r}\rho(r')\,r'^{2}\mathrm{d}r'\quad\Rightarrow\quad g_{r}(r)=-\frac{G M(r)}{r^{2}}.

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