Q10: Considere a base ORTOGONAL de
e o vetor
.
Calcule a
coordenada de
com relação à base
.
(A) 2
(B) 3
(C) -3
(D) -2
(E) Não sei
Calcule a
(A) 2
(B) 3
(C) -3
(D) -2
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal de
com a informação explícita de que
e dá também o vetor
A pergunta é: Calcular a 3ª coordenada de
em relação à base
. Em outras palavras, qual é o coeficiente associado a
quando escrevemos
como combinação linear dos vetores da base
?
Passo 2
Explicação didática do método (fórmula que vamos usar), sem assumir que você já saiba:
Se é uma base ortogonal, então podemos escrever
Se
onde
são as coordenadas de
na base
. Para encontrar
fazemos o produto escalar de ambos os lados com
. Lembre que o produto escalar (dot product) entre dois vetores
e
é
Aplicando o produto escalar com
obtemos
Como a base é ortogonal,
para
. Então todos os termos com
desaparecem, sobrando
Isolando
vem a fórmula prática que vamos usar:
Essa fórmula significa: a coordenada é o quociente entre o produto escalar de
com
(quanto
“projeta” em
) e o quadrado da norma de
(que é
). Tranquilo — é só calcular dois produtos escalares e dividir.
Passo 3
Calcule o numerador
. Fazemos o produto termo a termo:
Agora somamos cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Calcule o denominador
, que é a soma dos quadrados das componentes de
:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
Resposta
(D)