Q10: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{4}
\beta=\left\{\vec{q}_{1}, \quad \vec{q}_{2}, \quad \vec{q}_{3}, \quad \vec{q}_{4}\right\}, \quad \operatorname{com} \vec{q}_{3}=(-1,-3,-2,-2)
e o vetor \vec{v}=(10,-2,9,7).
Calcule a 3^{\mathrm{a}} coordenada de \vec{v} com relação à base \beta.
(A) 2
(B) 3
(C) -3
(D) -2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^4
\beta=\{\vec{q}_{1},\\ \vec{q}_{2},\\ \vec{q}_{3},\\ \vec{q}_{4}\}
com a informação explícita de que
\vec{q}_{3}=(-1,-3,-2,-2)
e dá também o vetor
\vec{v}=(10,-2,9,7).
A pergunta é: Calcular a 3ª coordenada de \vec{v} em relação à base \beta. Em outras palavras, qual é o coeficiente associado a \vec{q}_{3} quando escrevemos \vec{v} como combinação linear dos vetores da base \beta?

Passo 2

Explicação didática do método (fórmula que vamos usar), sem assumir que você já saiba:
Se \beta é uma base ortogonal, então podemos escrever
\vec{v}=c_{1}\vec{q}_{1}+c_{2}\vec{q}_{2}+c_{3}\vec{q}_{3}+c_{4}\vec{q}_{4},
onde c_{i} são as coordenadas de \vec{v} na base \beta. Para encontrar c_{3} fazemos o produto escalar de ambos os lados com \vec{q}_{3}. Lembre que o produto escalar (dot product) entre dois vetores \vec{a}=(a_{1},\ldots,a_{n}) e \vec{b}=(b_{1},\ldots,b_{n}) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}.
Aplicando o produto escalar com \vec{q}_{3} obtemos
\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}=c_{1}(\vec{q}_{1}\cdot\vec{q}_{3})+c_{2}(\vec{q}_{2}\cdot\vec{q}_{3})+c_{3}(\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3})+c_{4}(\vec{q}_{4}\cdot\vec{q}_{3}).
Como a base é ortogonal, \vec{q}_{i}\cdot\vec{q}_{3}=0 para i\neq3. Então todos os termos com c_{1},c_{2},c_{4} desaparecem, sobrando
\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}=c_{3}(\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}).
Isolando c_{3} vem a fórmula prática que vamos usar:
c_{3}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}}{\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}}.
Essa fórmula significa: a coordenada é o quociente entre o produto escalar de \vec{v} com \vec{q}_{3} (quanto \vec{v} “projeta” em \vec{q}_{3}) e o quadrado da norma de \vec{q}_{3} (que é \vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}). Tranquilo — é só calcular dois produtos escalares e dividir.

Passo 3

Calcule o numerador \vec{v}\cdot\vec{q}_{3}. Fazemos o produto termo a termo:
\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}=10\cdot(-1)+(-2)\cdot(-3)+9\cdot(-2)+7\cdot(-2).
Agora somamos cada termo:
10\cdot(-1)=-10,\quad (-2)\cdot(-3)=6,\quad 9\cdot(-2)=-18,\quad 7\cdot(-2)=-14.
Somando tudo:
\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}=-10+6-18-14.
\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}=-36.

Passo 4

Calcule o denominador \vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}, que é a soma dos quadrados das componentes de \vec{q}_{3}:
\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}=(-1)^{2}+(-3)^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2}=1+9+4+4.
\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}=18.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
c_{3}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}}{\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}}=\frac{-36}{18}=-2.

Resposta

(D) -2

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