Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há
de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de
. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa bem objetiva.
Informações fornecidas:
- Em cada dia só há duas possibilidades: ensolarado (vou chamar de “S”) ou chuvoso (vou chamar de “C”).
- Se hoje é ensolarado, a probabilidade de amanhã também ser ensolarado é
. - Se hoje é chuvoso, a probabilidade de amanhã também ser chuvoso é
.
O que é pedido:
- Qual é a probabilidade aproximada de que, no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado?
Passo 2
Interpretação útil (sem jargão): a previsão de amanhã depende só do dia de hoje (não de dias anteriores). Isso é o cenário clássico de uma cadeia de Markov com duas estados
e
. Vamos escrever as probabilidades de transição em forma de matriz para organizar as informações.
A matriz de transição, tomando a ordem de estados
, é
onde a entrada no canto superior esquerdo é
, no superior direito
, no inferior esquerdo
e no inferior direito
.]
Passo 3
Comentário intuitivo sobre o horizonte de 20 anos: 20 anos significam muitos dias (aproximadamente
passos). Para cadeias de Markov com um pequeno número de estados e transições positivas como esta, a distribuição de tempo em tempo converge rapidamente para uma distribuição estacionária que não depende do estado inicial. Ou seja, para um número grande de dias a frente, a probabilidade de estar em
aproxima-se de uma constante fixa (a distribuição estacionária). Por isso podemos calcular essa distribuição estacionária e usá-la como aproximação para 20 anos à frente.
Passo 4
Definição da distribuição estacionária: seja
a distribuição estacionária, onde
é a probabilidade de estar em
no regime estacionário e
a probabilidade de estar em
. Ela satisfaz
e também a soma das probabilidades é
.
Escrevendo a equação componente a componente obtemos, para a componente
,
Passo 5
Resolver o sistema. Usamos
e substituímos na equação anterior:
Agora desenvolvo passo a passo:
Somando
em ambos os lados:
Logo
Passo 6
Valor numérico e arredondamento: calculando a fração,
ou seja cerca de
. Arredondando para uma casa decimal obtemos
.
Passo 7
Conclusão prática para a questão: como
anos equivalem a milhares de dias, é seguro aproximar a probabilidade pedida pela distribuição estacionária calculada. Portanto a probabilidade aproximada de o primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos ser ensolarado é
, que corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C)