Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 20 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 45 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 38.7 \%
(B) 39.7 \%
(C) 40.7 \%
(D) 41.7 \%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa bem objetiva.
Informações fornecidas:
  • Em cada dia só há duas possibilidades: ensolarado (vou chamar de “S”) ou chuvoso (vou chamar de “C”).
  • Se hoje é ensolarado, a probabilidade de amanhã também ser ensolarado é 20\%.
  • Se hoje é chuvoso, a probabilidade de amanhã também ser chuvoso é 45\%.
O que é pedido:
  • Qual é a probabilidade aproximada de que, no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado?

Passo 2

Interpretação útil (sem jargão): a previsão de amanhã depende só do dia de hoje (não de dias anteriores). Isso é o cenário clássico de uma cadeia de Markov com duas estados S e C. Vamos escrever as probabilidades de transição em forma de matriz para organizar as informações.
A matriz de transição, tomando a ordem de estados (S,C), é
P=\begin{pmatrix} 0{,}20 & 0{,}80\\[4pt] 0{,}55 & 0{,}45 \end{pmatrix}
onde a entrada no canto superior esquerdo é P(S\to S)=0{,}20, no superior direito P(S\to C)=0{,}80, no inferior esquerdo P(C\to S)=0{,}55 e no inferior direito P(C\to C)=0{,}45.]

Passo 3

Comentário intuitivo sobre o horizonte de 20 anos: 20 anos significam muitos dias (aproximadamente 20\times 365\approx 7300 passos). Para cadeias de Markov com um pequeno número de estados e transições positivas como esta, a distribuição de tempo em tempo converge rapidamente para uma distribuição estacionária que não depende do estado inicial. Ou seja, para um número grande de dias a frente, a probabilidade de estar em S aproxima-se de uma constante fixa (a distribuição estacionária). Por isso podemos calcular essa distribuição estacionária e usá-la como aproximação para 20 anos à frente.

Passo 4

Definição da distribuição estacionária: seja
\pi=(\pi_S,\pi_C)
a distribuição estacionária, onde \pi_S é a probabilidade de estar em S no regime estacionário e \pi_C a probabilidade de estar em C. Ela satisfaz
\pi=\pi P
e também a soma das probabilidades é \pi_S+\pi_C=1.
Escrevendo a equação componente a componente obtemos, para a componente S,
\pi_S=\pi_S\cdot 0{,}20+\pi_C\cdot 0{,}55.

Passo 5

Resolver o sistema. Usamos \pi_C=1-\pi_S e substituímos na equação anterior:
\pi_S=0{,}20\,\pi_S+0{,}55\,(1-\pi_S).
Agora desenvolvo passo a passo:
\pi_S=0{,}20\pi_S+0{,}55-0{,}55\pi_S,
\pi_S=(0{,}20-0{,}55)\pi_S+0{,}55,
\pi_S=-0{,}35\pi_S+0{,}55.
Somando 0{,}35\pi_S em ambos os lados:
\pi_S+0{,}35\pi_S=0{,}55,
1{,}35\pi_S=0{,}55.
Logo
\pi_S=\frac{0{,}55}{1{,}35}=\frac{55}{135}=\frac{11}{27}.

Passo 6

Valor numérico e arredondamento: calculando a fração,
\frac{11}{27}\approx 0{,}407407\ldots
ou seja cerca de 40{,}7407\%. Arredondando para uma casa decimal obtemos 40{,}7\%.

Passo 7

Conclusão prática para a questão: como 20 anos equivalem a milhares de dias, é seguro aproximar a probabilidade pedida pela distribuição estacionária calculada. Portanto a probabilidade aproximada de o primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos ser ensolarado é 40{,}7\%, que corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) 40{,}7\%

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