Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-3 x_{n}+\frac{28}{3} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=9, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}n \rightarrow \infty \\\ x_{n} \\\ x_{n}+1\end{array}\right] e note que
Logo \vec{v}_{n}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-3 & 28/3\end{pmatrix}^{\,n-1}\vec{v}_{1} e \vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} com x_{1}=9.]
Passo 2
Ideia principal (explicada devagar): se escrevemos \vec{v}_{1} como combinação linear de autovetores da matriz
se separa em termos que crescem como \lambda^{\,n-1} onde \lambda são os autovalores. Portanto:
componentes na direção de autovalores com |\lambda|<1 decaem para 0 quando n\to\infty;
componentes na direção de autovalores com |\lambda|>1 explodem (não tendem a 0).\n
Assim, para ter \vec{v}_{n}\to\vec{0} (e então x_{n}\to 0) é necessário que a componente de \vec{v}_{1} na direção de todo autovalor com |\lambda|>1 seja nula — ou seja, \vec{v}_{1} deve estar inteiramente no subespaço estável (autovetores com |\lambda|<1).]
Passo 3
Calculemos os autovalores de A. O polinômio característico é
Interpretando: um autovalor é \lambda_{1}=9 (com |\lambda_{1}|>1) e o outro é \lambda_{2}=\tfrac{1}{3} (com |\lambda_{2}|<1). Pela discussão do Passo 2, para termos \vec{v}_{n}\to\vec{0} é necessário que a componente de \vec{v}_{1} na direção do autovetor associado a \lambda_{1}=9 seja zero — isto é, \vec{v}_{1} deve ser múltiplo do autovetor de \lambda_{2}=\tfrac{1}{3}.
Passo 5
Encontremos um autovetor para \lambda=\tfrac{1}{3}. Resolvendo (A-\tfrac{1}{3}I)\vec{u}=\vec{0}:
Da primeira linha vem -\tfrac{1}{3}u_{1}+u_{2}=0, ou seja u_{2}=\tfrac{1}{3}u_{1}. A segunda linha dá a mesma relação. Portanto um autovetor correspondente é, por exemplo,