Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se A C=C D, D diagonal e C n \times n com Núcleo C \neq\{\overrightarrow{0}\}, então A é diagonalizável.
II - Se Q: \mathbb{R}^{41} \rightarrow \mathbb{R}^{41} é diagonalizável, então Q possui 41 autovalores reais distintos.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas (I e II) e pede que escolhamos qual alternativa entre (A)–(D) é correta:
I — Se A\,C = C\,D, com D diagonal e C uma matriz n\times n tal que \operatorname{Núcleo}\text{(C)}\neq\{\overrightarrow{0}\}ú, então A é diagonalizável.
II — Se Q:\mathbb{R}^{41}\to\mathbb{R}^{41} é diagonalizável, então Q possui 41 autovalores reais distintos.
Informações relevantes dadas:
  • Em I: existe uma matriz C quadrada não-invertível (porque o núcleo de C é não trivial), uma matriz diagonal D e a relação matricial A C = C D.
  • Em II: Q é diagonalizável como operador em \mathbb{R}^{41}; pergunta-se sobre a quantidade e distintividade dos autovalores.

Passo 2

Vamos lembrar o que significam os conceitos usados (aula rápida e direta, sem mistério):
  • Uma matriz M é diagonalizável se existe uma matriz inversível P tal que
P^{-1} M P
é diagonal. Outra forma prática de dizer isso: M é diagonalizável se e só se existe uma base formada por autovetores de M (ou seja, n autovetores linearmente independentes no caso n\times n).
  • Se escrevemos C = [v_1\\ \cdots\\ v_n] (colunas v_i) e D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n), a igualdade matricial
A C = C D
é equivalente a dizer, coluna a coluna,
A v_i = d_i v_i\quad\text{para }i=1,\dots,n.
Ou seja, cada coluna v_i é um autovetor de A (associado ao autovalor d_i), exceto que nada impede que algum v_i seja o vetor zero — nesse caso a equação é satisfeita automaticamente.

Passo 3

Analisando a ideia por trás de I:
  • Se C fosse invertível, a relação A C = C D levaria a
A = C D C^{-1},
energia clássica: A seria similar à diagonal D e portanto diagonalizável. Mas a hipótese do enunciado força justamente o contrário: o núcleo de C é não trivial, então C é singular (não invertível). Portanto não podemos dividir por C nem concluir imediatamente que A é similar a D.
  • Precisamos então ver se a existência de um C singular que satisfaz A C = C D já garante diagonalizabilidade de A. Vou construir um contraexemplo explícito — isso basta para mostrar que a afirmativa I é falsa.
Contraexemplo (muito concreto, passo a passo):
  • Escolho n=2 e um bloco de Jordan não-diagonalizável:
A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\[4pt] 0 & \lambda\end{pmatrix},
onde \lambda é qualquer número real (pode ser 0, por exemplo). Esta A tem apenas um autovetor (ou seja, não é diagonalizável).
  • Escolho o vetor autovetor v=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} de A (de fato A v=\lambda v).
  • Defino
C=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=[v\\ v], \qquad D=\begin{pmatrix}\lambda & 0\\[4pt] 0 & \lambda\end{pmatrix}=\lambda I.
  • Vamos verificar A C = C D:
A C = A [v\\ v] = [A v\\ A v] = [\lambda v\\ \lambda v] = [v\\ v] \lambda = C D.
Portanto a igualdade A C = C D é satisfeita.
  • Verifico que C é singular: por exemplo \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix} pertence ao núcleo de C, então \operatorname{Núcleo}\text{(C)}\neq\{\overrightarrow{0}\}ú.
  • No entanto A (o bloco de Jordan) não é diagonalizável.
Conclusão do passo: existe caso concreto onde todas as hipóteses de I se cumprem e a conclusão falha. Logo I é falsa.]

Passo 4

Analisando a afirmativa II:
  • Recordando: “diagonalizável” significa existir uma base formada por autovetores (a quantidade de autovetores linearmente independentes é 41 aqui). Isso não implica que os autovalores tenham de ser todos distintos; autovalores repetidos são permitidos, desde que a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) some para dar 41.
  • Exemplo simples e claro de contraexemplo: a aplicação identidade I:\mathbb{R}^{41}\to\mathbb{R}^{41} é diagonalizável (já é a matriz diagonal I), mas possui apenas um autovalor real ( 1) com multiplicidade algébrica 41, ou seja, não tem 41 autovalores distintos.
  • Assim a afirmativa “então Q possui 41 autovalores reais distintos” é falsa: diagonalizabilidade não exige autovalores distintos, apenas exige autovetores suficientes (independentes).

Passo 5

Conclusão final combinando os resultados dos passos anteriores:
  • I é falsa (existe contraexemplo).
  • II é falsa (existe contraexemplo).
    Portanto ambas as afirmativas são falsas, o que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A)

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