Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se
diagonal e
com Núcleo
, então
é diagonalizável.
II - Se
é diagonalizável, então
possui 41 autovalores reais distintos.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas (I e II) e pede que escolhamos qual alternativa entre (A)–(D) é correta:
I — Se , com
diagonal e
uma matriz
tal que
, então
é diagonalizável.
II — Se é diagonalizável, então
possui 41 autovalores reais distintos.
I — Se
II — Se
Informações relevantes dadas:
- Em I: existe uma matriz
quadrada não-invertível (porque o núcleo de é não trivial), uma matriz diagonal e a relação matricial . - Em II:
é diagonalizável como operador em ; pergunta-se sobre a quantidade e distintividade dos autovalores.
Passo 2
Vamos lembrar o que significam os conceitos usados (aula rápida e direta, sem mistério):
- Uma matriz
é diagonalizável se existe uma matriz inversível tal que
é diagonal. Outra forma prática de dizer isso:
é diagonalizável se e só se existe uma base formada por autovetores de
(ou seja,
autovetores linearmente independentes no caso
).
- Se escrevemos
(colunas ) e , a igualdade matricial
é equivalente a dizer, coluna a coluna,
Ou seja, cada coluna
é um autovetor de
(associado ao autovalor
), exceto que nada impede que algum
seja o vetor zero — nesse caso a equação é satisfeita automaticamente.
Passo 3
Analisando a ideia por trás de I:
- Se
fosse invertível, a relação levaria a
energia clássica:
seria similar à diagonal
e portanto diagonalizável. Mas a hipótese do enunciado força justamente o contrário: o núcleo de
é não trivial, então
é singular (não invertível). Portanto não podemos dividir por
nem concluir imediatamente que
é similar a
.
- Precisamos então ver se a existência de um
singular que satisfaz já garante diagonalizabilidade de . Vou construir um contraexemplo explícito — isso basta para mostrar que a afirmativa I é falsa.
Contraexemplo (muito concreto, passo a passo):
- Escolho
e um bloco de Jordan não-diagonalizável:
onde
é qualquer número real (pode ser
, por exemplo). Esta
tem apenas um autovetor (ou seja, não é diagonalizável).
- Escolho o vetor autovetor
de (de fato ). - Defino
- Vamos verificar
:
Portanto a igualdade
é satisfeita.
- Verifico que
é singular: por exemplo pertence ao núcleo de , então . - No entanto
(o bloco de Jordan) não é diagonalizável.
Conclusão do passo: existe caso concreto onde todas as hipóteses de I se cumprem e a conclusão falha. Logo I é falsa.]
Passo 4
Analisando a afirmativa II:
- Recordando: “diagonalizável” significa existir uma base formada por autovetores (a quantidade de autovetores linearmente independentes é
aqui). Isso não implica que os autovalores tenham de ser todos distintos; autovalores repetidos são permitidos, desde que a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) some para dar . - Exemplo simples e claro de contraexemplo: a aplicação identidade
é diagonalizável (já é a matriz diagonal ), mas possui apenas um autovalor real ( ) com multiplicidade algébrica , ou seja, não tem 41 autovalores distintos. - Assim a afirmativa “então
possui 41 autovalores reais distintos” é falsa: diagonalizabilidade não exige autovalores distintos, apenas exige autovetores suficientes (independentes).
Passo 5
Conclusão final combinando os resultados dos passos anteriores:
- I é falsa (existe contraexemplo).
- II é falsa (existe contraexemplo).
Portanto ambas as afirmativas são falsas, o que corresponde à alternativa (A).
Resposta
(A)