Q10: Considere a sequència formada pela lei de recorréncia x_{n+2}=-2 x_{n}+\frac{51}{5} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=15, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
\vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -2 & 51 / 5\end{array}\right] \vec{v}_{n} \quad para n=1,2,3, \ldots
Portanto \vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -2 & 51 / 5\end{array}\right]^{n} \vec{v}_{1}.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
(I) Nào sei

Passo 1

O enunciado dá a recorrência
x_{n+2} = -2\,x_{n} + \frac{51}{5}\,x_{n+1},\quad n=1,2,\dots
com x_{1}=15 e pede o valor de x_{2} para que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0.
A dica sugere escrever
\vec v_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\x_{n+1}\end{pmatrix}, \quad \vec v_{n+1} = A\,\vec v_{n},
onde
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -2 & 51/5\end{pmatrix}.
Para que x_{n}\to0, a componente do autovalor maior em módulo deve anular-se na decomposição inicial.

Passo 2

Calculamos os autovalores de A pela equação caracterísica
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \begin{vmatrix}-\lambda & 1 \\\\ -2 & \tfrac{51}{5}-\lambda\end{vmatrix} = \lambda^{2} - \tfrac{51}{5}\,\lambda + 2 = 0.
O discriminante é
\Delta = \bigl(\tfrac{51}{5}\bigr)^{2} - 4\cdot2 = \tfrac{2601}{25} - \tfrac{200}{25} = \tfrac{2401}{25},
logo \sqrt{\Delta}=49/5 e
\lambda = \frac{\tfrac{51}{5}\pm\tfrac{49}{5}}{2} \;\Longrightarrow\; \lambda_{1}=10, \quad \lambda_{2}=\tfrac{1}{5}.

Passo 3

Encontramos vetores próprios:
Para \lambda_{1}=10,
(A -10I)\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; -10u + v = 0 \;\Longrightarrow\; v=10u.
Um autovetor é \begin{pmatrix}1\\\ 10\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=\tfrac15,
(A -\tfrac15I)\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; -\tfrac15u + v = 0 \;\Longrightarrow\; v=\tfrac15u.
Um autovetor é \begin{pmatrix}1\\tfrac15\end{pmatrix}.

Passo 4

Escrevemos
\vec v_{1} = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}1\\\ 10\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}1\\tfrac15\end{pmatrix}.
Como x_{1}=15, temos \alpha+\beta=15.
Na segunda componente: 10\alpha + \tfrac15\beta = x_{2}.
Para que o termo em 10^{n} desapareça quando n\to\infty, deve-se ter \alpha=0.
Logo \beta=15 e
x_{2} = 10\cdot0 + \tfrac15\cdot15 = 3.

Resposta

x_{2}=3

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