Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é uma reflexaio em torno de uma reta do
, então
.
II - Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.
(A) Todas saio falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas saio falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pede para analisar duas transformações lineares em
:
I – reflexão em torno de uma reta e o valor de
;
II – projeção ortogonal em um plano e o valor de
.
Para cada caso, usaremos que é o produto de
sobre os autovalores
de
.
I – reflexão
II – projeção ortogonal
Para cada caso, usaremos que
Passo 2
No caso da reflexão
em torno de uma reta, vetores sobre a reta são fixos, dando autovalor
(multiplicidade 1), e vetores perpendiculares mudam de sinal, dando autovalor
(multiplicidade 2).
Calculamos
Calculamos
logo a afirmativa I, que dizia
, é falsa.
Passo 3
Na projeção ortogonal
em um plano, vetores no plano têm autovalor
(multiplicidade 2) e vetores na direção ortogonal têm autovalor
(multiplicidade 1).
Então
Então
portanto a afirmativa II, que dizia
, também é falsa.
Passo 4
Como ambas as afirmativas são falsas, a alternativa correta é
Resposta
(A) Todas saio falsas.