Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T é uma reflexaio em torno de uma reta do \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{det}(T-2 I)=0.
II - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do \mathrm{R}^{3}, então \operatorname{det}(P-I) \neq 0.
(A) Todas saio falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas transformações lineares em \mathbb{R}^3:
I – reflexão T em torno de uma reta e o valor de \det(T-2I);
II – projeção ortogonal P em um plano e o valor de \det(P-I).
Para cada caso, usaremos que \det(A-\lambda I) é o produto de (\lambda_i-\lambda) sobre os autovalores \lambda_i de A.

Passo 2

No caso da reflexão T em torno de uma reta, vetores sobre a reta são fixos, dando autovalor +1 (multiplicidade 1), e vetores perpendiculares mudam de sinal, dando autovalor -1 (multiplicidade 2).
Calculamos
\det\bigl(T-2I\bigr) =(1-2)\,(-1-2)^2 =(-1)\cdot(-3)^2 =-9\neq0,
logo a afirmativa I, que dizia \det(T-2I)=0, é falsa.

Passo 3

Na projeção ortogonal P em um plano, vetores no plano têm autovalor +1 (multiplicidade 2) e vetores na direção ortogonal têm autovalor 0 (multiplicidade 1).
Então
\det\bigl(P-I\bigr) =(1-1)^2\,(0-1) =0\cdot(-1) =0,
portanto a afirmativa II, que dizia \det(P-I)\neq0, também é falsa.

Passo 4

Como ambas as afirmativas são falsas, a alternativa correta é

Resposta

(A) Todas saio falsas.

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