Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 55 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 40 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 57.1 \%
(B) 58.1 \%
(C) 59.1 \%
(D) 60.1 \%
(E) Näo sei

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma cadeia de Markov com dois estados: Sol e Chuva. Se hoje é Sol, amanhã será Sol com probabilidade 0,55; se hoje é Chuva, amanhã será Chuva com probabilidade 0,4. Queremos a probabilidade de que, daqui a 20 anos (aproximadamente 20\times365 dias), o dia seja ensolarado. Para isso, vamos usar a distribuição estacionária da cadeia.

Passo 2

A matriz de transição P desta cadeia, tomando a ordem de estados (\text{Sol},\text{Chuva}), é
P = \begin{pmatrix} 0,55 & 0,45\\\\ 0,6 & 0,4 \end{pmatrix},
onde a primeira linha corresponde ao estado Sol e a segunda ao estado Chuva.

Passo 3

A distribuição estacionária \pi=(\pi_{\text{Sol}},\pi_{\text{Chuva}}) satisfaz
\pi = \pi\,P, \qquad \pi_{\text{Sol}}+\pi_{\text{Chuva}}=1.
Da igualdade \pi=\pi P obtemos
\pi_{\text{Sol}} =0,55\,\pi_{\text{Sol}}+0,6\,\pi_{\text{Chuva}}.

Passo 4

Como \pi_{\text{Chuva}}=1-\pi_{\text{Sol}}, essa última equação vira
\pi_{\text{Sol}} =0,55\,\pi_{\text{Sol}}+0,6\,(1-\pi_{\text{Sol}}) =0,55\,\pi_{\text{Sol}}+0,6-0,6\,\pi_{\text{Sol}},
\pi_{\text{Sol}} =0,6-0,05\,\pi_{\text{Sol}} \;\Longrightarrow\; 1,05\,\pi_{\text{Sol}}=0,6 \;\Longrightarrow\; \pi_{\text{Sol}}=\frac{0,6}{1,05}=\frac{4}{7}\approx0,5714.

Passo 5

Como 20 anos equivalem a cerca de 20\times365 dias, o efeito da condição inicial praticamente some e a distribuição em qualquer dia distante converge a \pi. Portanto, a probabilidade de ser ensolarado naquele dia é
\pi_{\text{Sol}}\approx0,5714\approx57,1\%.

Resposta

(A) 57,1\%

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