Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 55 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 40 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 57.1 \%
(B) 58.1 \%
(C) 59.1 \%
(D) 60.1 \%
(E) Näo sei
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos uma cadeia de Markov com dois estados: Sol e Chuva. Se hoje é Sol, amanhã será Sol com probabilidade 0,55; se hoje é Chuva, amanhã será Chuva com probabilidade 0,4. Queremos a probabilidade de que, daqui a 20 anos (aproximadamente 20\times365 dias), o dia seja ensolarado. Para isso, vamos usar a distribuição estacionária da cadeia.
Passo 2
A matriz de transição P desta cadeia, tomando a ordem de estados (\text{Sol},\text{Chuva}), é
P = \begin{pmatrix} 0,55 & 0,45\\\\ 0,6 & 0,4 \end{pmatrix},
onde a primeira linha corresponde ao estado Sol e a segunda ao estado Chuva.
Passo 3
A distribuição estacionária \pi=(\pi_{\text{Sol}},\pi_{\text{Chuva}}) satisfaz
Como 20 anos equivalem a cerca de 20\times365 dias, o efeito da condição inicial praticamente some e a distribuição em qualquer dia distante converge a \pi. Portanto, a probabilidade de ser ensolarado naquele dia é