Q14: Calcule o polinómio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1 & -4 & -6 & -7 & -5 & -7 & -4 \\\\ -1 & 3 & -7 & -3 & -1 & 7 & 7 & 4 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & -1 & -7 \\\\ 0 & 0 & 5 & 2 & 1 & 1 & -7 & -1 \\\\ 0 & 0 & -4 & -4 & 6 & -3 & -2 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 12 & 3 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}
(B) p_{\mathrm{c}}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(-3-\lambda)(5-\lambda)
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{2}
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(-4-\lambda)
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}
(F) p_{\mathrm{c}}^{4}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}(5-\lambda)
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)(-4-\lambda)
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o polinómio característico de A\in\mathbb{R}^{8\times8}. Vemos que as cinco primeiras colunas das linhas 6–8 são nulas, e as duas primeiras colunas das linhas 3–8 também são nulas excepto nas duas primeiras linhas. Portanto A é triangular por blocos com três blocos diagonais:
  • Bloc-1: linhas e colunas 1,2 (tamanho 2),
  • Bloc-2: linhas e colunas 3,4,5 (tamanho 3),
  • Bloc-3: linhas e colunas 6,7,8 (tamanho 3).
    O teorema diz que
\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A) =\det(\lambda I_2-A_{11})\;\det(\lambda I_3-A_{22})\;\det(\lambda I_3-A_{33}).

Passo 2

Extraímos o bloco A_{33} (linhas e cols 6 8):
A_{33}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 4 & -1 & 1\\\\ -2 & 12 & 3 \end{pmatrix}.
Logo
\det(\lambda I_3-A_{33}) =\det\begin{pmatrix} \lambda-4 & 0 & 0\\\\ -4 & \lambda+1 & -1\\\\ 2 & -12 & \lambda-3 \end{pmatrix} =(\lambda-4)\bigl((\lambda+1)(\lambda-3)-12\bigr) =(\lambda-4)(\lambda^2-2\lambda-15) =(\lambda-4)(\lambda-5)(\lambda+3).

Passo 3

Extraímos o bloco A_{22} (linhas e cols 3 5):
A_{22}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 5 & 2 & 1\\\\ -4 & -4 & 6 \end{pmatrix}.
Assim
\det(\lambda I_3-A_{22}) =(\lambda-2)\det\begin{pmatrix}\lambda-2 & -1\\\ 4 & \lambda-6\end{pmatrix} =(\lambda-2)\bigl((\lambda-2)(\lambda-6)+4\bigr) =(\lambda-2)(\lambda^2-8\lambda+16) =(\lambda-2)(\lambda-4)^2.

Passo 4

Extraímos o bloco A_{11} (linhas e cols 1 2):
A_{11}=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 3\end{pmatrix}, \quad \det(\lambda I_2-A_{11}) =\det\begin{pmatrix}\lambda-1 & -1\\\ 1 & \lambda-3\end{pmatrix} =(\lambda-1)(\lambda-3)+1 =\lambda^2-4\lambda+4 =(\lambda-2)^2.

Passo 5

Juntando,
\chi_A(\lambda) =(\lambda-2)^2\;\bigl[(\lambda-2)(\lambda-4)^2\bigr]\;\bigl[(\lambda-4)(\lambda-5)(\lambda+3)\bigr] =(\lambda-2)^3(\lambda-4)^3(\lambda-5)(\lambda+3).
Nas opções isso corresponde a
(2-\lambda)^3(4-\lambda)^3(-3-\lambda)(5-\lambda), que é a opção (B).

Resposta

(B) \,p_{\mathrm{c}}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(-3-\lambda)(5-\lambda)

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