Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-2 x_{n}+\frac{99}{7} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=56, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
\vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ -2 & 99 / 7 \end{array}\right] \vec{v}_{n} \quad \text { para } n=1,2,3, \ldots
Portanto \vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -2 & 99 / 7\end{array}\right]^{n} \vec{v}_{1}.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a recorrência
x_{n+2}=-2\,x_{n}+\frac{99}{7}\,x_{n+1},\quad n=1,2,3,\dots
com x_{1}=56, e pede x_{2} de modo que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0. Vamos usar o método dos autovalores da matriz de transição ou, equivalente, a equação característica do polinômio de recorrência.

Passo 2

A equação característica associada é
r^{2}-\frac{99}{7}\,r+2=0.
Resolvendo-a, obtemos duas raízes r_{1} e r_{2}, que são os autovalores do sistema.

Passo 3

Calculamos as raízes por fórmula de Bhaskara:
r=\frac{\frac{99}{7}\pm\sqrt{\bigl(\frac{99}{7}\bigr)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2} =\frac{\frac{99}{7}\pm\sqrt{\frac{9801}{49}-8}}{2} . Fica então r_{1}=\frac{\frac{99}{7}+\sqrt{\frac{9409}{49}}}{2}= \frac{\frac{99}{7}+ \frac{97}{7}}{2}= \frac{14+14}{2}=14,
r_{2}=\frac{\frac{99}{7}-\sqrt{\frac{9409}{49}}}{2}= \frac{\frac{99}{7}- \frac{97}{7}}{2}= \frac{\frac{2}{7}}{2}=\frac{1}{7}\approx0,143.

Passo 4

A solução geral da recorrência é
x_{n}=A\,r_{1}^{\,n-1}+B\,r_{2}^{\,n-1}.
Pelas condições iniciais:
n=1:\quad x_{1}=A+B=56,
n=2:\quad x_{2}=A\,r_{1}+B\,r_{2}.

Passo 5

Para ter \lim_{n\to\infty}x_{n}=0, o termo com r_{1}=14 (que cresce) deve desaparecer, logo A=0. Daí B=56 e
x_{n}=56\bigl(\tfrac{1}{7}\bigr)^{n-1}.
Em particular,
x_{2}=56\cdot \tfrac{1}{7}=8.

Resposta

8 (alternativa G)

Exercícios relacionados