Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-2 x_{n}+\frac{99}{7} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=56, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
com x_{1}=56, e pede x_{2} de modo que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0. Vamos usar o método dos autovalores da matriz de transição ou, equivalente, a equação característica do polinômio de recorrência.
Passo 2
A equação característica associada é
r^{2}-\frac{99}{7}\,r+2=0.
Resolvendo-a, obtemos duas raízes r_{1} e r_{2}, que são os autovalores do sistema.
Passo 3
Calculamos as raízes por fórmula de Bhaskara:
r=\frac{\frac{99}{7}\pm\sqrt{\bigl(\frac{99}{7}\bigr)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2} =\frac{\frac{99}{7}\pm\sqrt{\frac{9801}{49}-8}}{2} . Fica então r_{1}=\frac{\frac{99}{7}+\sqrt{\frac{9409}{49}}}{2}= \frac{\frac{99}{7}+ \frac{97}{7}}{2}= \frac{14+14}{2}=14,